m, n দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং m = n² হলে-
i. m একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা
ii. m একটি অমূলদ সংখ্যা
iii. n = ২ হলে m = ৪ হবে
নিচের কোনটি সঠিক?

দেওয়া আছে, m এবং n দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Numbers), এবং \(m = n^2\)।

প্রথমে স্বাভাবিক সংখ্যা সম্পর্কে জেনে নিই। গণনার কাজে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলোই হলো স্বাভাবিক সংখ্যা। যেমন: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ... ইত্যাদি।

এবার প্রতিটি উক্তি যাচাই করি:

i. m একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা:

    
• একটি সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ সংখ্যা বলা হয় যদি সেটিকে কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ (Square) রূপে প্রকাশ করা যায়।
    
• এখানে, \(m = n^2\) এবং n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো পূর্ণসংখ্যাও বটে।
    
• যেহেতু m কে একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ রূপে প্রকাশ করা যাচ্ছে, তাই m অবশ্যই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
    
• সুতরাং, উক্তি i সঠিক।

ii. m একটি অমূলদ সংখ্যা:

    
• যেসব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত বা ভগ্নাংশ (\(p/q\) যেখানে \(q \neq 0\)) আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাদের অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number) বলে। যেমন: \(\sqrt{2}\), \(\pi\) ইত্যাদি।
    
• যেহেতু m একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (\(m = n^2\)), যেমন: ১, ৪, ৯, ১৬, ইত্যাদি, তাই m-কে সর্বদা \((m/1)\) আকারে প্রকাশ করা যায়।
    
• সকল স্বাভাবিক সংখ্যাই মূলদ সংখ্যা (Rational Number)।
    
• সুতরাং, m একটি অমূলদ সংখ্যা হতে পারে না।
    
• সুতরাং, উক্তি ii ভুল।

iii. n = ২ হলে m = ৪ হবে:

    
• দেওয়া আছে \(m = n^2\)।
    
• যদি \(n = 2\) হয়, তাহলে \(m = 2^2 = 4\)।
    
• সুতরাং, উক্তি iii সঠিক।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, উক্তি i এবং উক্তি iii সঠিক।