$\tan \theta =\frac{1}{2}$ হলে $\sin 2\theta$ এর মান কত?

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত হলো সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যে নির্দিষ্ট অনুপাত। এই অনুপাতগুলো ব্যবহার করে কোণ ও বাহুর মান নির্ণয় করা যায়।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Basic Ratios)

একটি সমকোণী ত্রিভুজে কোনো কোণ θ হলে—

সাইন (Sine)

$\sin \theta =\frac{\text{লম্ব}}{\text{কর্ণ}}$

কোসাইন (Cosine)

$\cos \theta =\frac{\text{ভূমি}}{\text{কর্ণ}}$

ট্যানজেন্ট (Tangent)

$\tan \theta =\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$

রেসিপ্রোকাল অনুপাত (Reciprocal Ratios)

• cosec θ = 1 / sin θ
• sec θ = 1 / cos θ
• cot θ = 1 / tan θ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের পারস্পরিক সম্পর্ক

১. মৌলিক পরিচিতি (Fundamental Identity)

${\sin \theta }^2+{\cos \theta }^2=1$

২. ট্যানজেন্ট ও সেক্যান্ট সম্পর্ক

$1+{\tan \theta }^2={\sec \theta }^2$

৩. কট ও কোসেক সম্পর্ক

$1+{\cot \theta }^2={\mathrm{cosec}\theta }^2$

পরিপূরক কোণের সম্পর্ক (Complementary Angles)

যদি দুটি কোণ পরিপূরক হয় (θ এবং 90° − θ), তবে—

• sin θ = cos (90° − θ)
• cos θ = sin (90° − θ)
• tan θ = cot (90° − θ)
• sec θ = cosec (90° − θ)

গুরুত্বপূর্ণ অনুপাত সম্পর্ক

• tan θ = sin θ / cos θ
• cot θ = cos θ / sin θ
• sec θ = 1 / cos θ
• cosec θ = 1 / sin θ

উদাহরণ

যদি sin θ = 3/5 হয়, তবে—

cos θ নির্ণয়:

${\sin \theta }^2+{\cos \theta }^2=1$

(3/5)² + cos²θ = 1
9/25 + cos²θ = 1
cos²θ = 16/25
cos θ = 4/5

মনে রাখার কৌশল

• sin, cos, tan = মৌলিক অনুপাত
• sec, cosec, cot = বিপরীত অনুপাত
• সব পরিচিতি sin² + cos² = 1 থেকে তৈরি

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর সম্পর্ক

মনে করি, ∠XOA = θ একটি সূক্ষ্মকোণ।

পাশের চিত্র সাপেক্ষে, সংজ্ঞানুযায়ী,

ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি

উদাহরণ ৩. $\tan A=\frac{4}{3}$ হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $\tan A=\frac{4}{3}$ ।

উদাহরণ ৪. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tan A = 1 হলে 2sin A.cos A = 1 এর সত্যতা যাচাই কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, tan A = 1

অতএব, বিপরীত বাহু = সন্নিহিত বাহু = a

উদাহরণ ৫. প্রমাণ কর যে, $\tan \theta + cot \theta = sec \theta . \cos ec \theta$

সমাধান :

বামপক্ষ = $\tan \theta + cot \theta$

$=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

উদাহরণ ১০. প্রমাণ কর : $\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}= sec A-\tan A$

সমাধান :