The base of an isosceles triangle is 6 cm and one of the equal sides is 12 cm. Find the radius of the circle through the vertices of the triangle?

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ :

মনে করি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC = a এবং BC = b

উদাহরণ ১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি. ও ৪ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 6 সে.মি. এবং b = ৪ সে.মি.।

$\therefore$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\times 6\times 8$ বর্গ সে.মি. = 24 বর্গ সে.মি.।

উদাহরণ ২. কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 9 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 9 সে.মি. ও b = 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 60° I

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab \sin 60°$

$=\frac{1}{2}\times 9\times 10\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ বর্গ সে.মি. 38.97 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 38.97 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উদাহরণ ৩. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি., ৪ সে.মি. ও 9 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 7 সে.মি., b = ৪ সে.মি. ও c = 9 সে.মি.।

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 26.83 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উদাহরণ ৪. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার।

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গমিটার।

ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(a+1\right)}^2$

নির্ণেয় বাহুর দৈর্ঘ্য 5.5 মিটার।

উদাহরণ ৫. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল 1200 বর্গ সে.মি. হলে সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি b = 60 সে.মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$

বা, $a^2=2500$

$\therefore$ a = 50

ত্রিভুজটির সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে.মি.।

উদাহরণ ৬. একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুইটি রাস্তা 120° কোণে চলে গেছে। দুই জন লোক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘণ্টায় 10 কিলোমিটার ও ৪ ঘণ্টায় কিলোমিটার বেগে বিপরীত দিকে রওনা হলো। 5 ঘণ্টা পরে তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, A স্থান থেকে দুইজন লোক যথাক্রমে ঘণ্টায় 10 কিলোমিটার ও ঘণ্টায় ৪ কিলোমিটার বেগে রওনা হয়ে 5 ঘণ্টা পর যথাক্রমে B ও C স্থাণে পৌঁছালো। তাহলে, 5 ঘণ্টা পর তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব হবে BC । C থেকে BA এর বর্ধিতাংশের উপর CD লম্ব টানি।

$\therefore$ AB = 5 × 10 কিলোমিটার = 50 কিলোমিটার, AC = 5 × 8

কিলোমিটার 40 কিলোমিটার এবং ∠BAC = 120°

$\therefore$ ∠DAC = 180° - 120° = 60°

△ACD সমকোণী।

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,

নির্ণেয় দূরত্ব 78.1 কিলোমিটার (প্রায়)

উদাহরণ ৭. প্রদত্ত চিত্রের আলোকে

ক) BC বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ) BD এর মান নির্ণয় কর।

গ) △ABD ও △BCD এর ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) AB = 15, AC = 25