The ratio of the areas of two squares, one having its diagonal double that of the other, is :

বিস্তারিত সমাধান:

আমরা জানি, একটি বর্গের ক্ষেত্রফল তার কর্ণের (diagonal) মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় এভাবে:

যদি বর্গের কর্ণ \(d\) হয়, তাহলে ক্ষেত্রফল \(A = \frac{d^2}{2}\) বর্গ একক।

ধরি, প্রথম বর্গের কর্ণ \(d_1\) এবং দ্বিতীয় বর্গের কর্ণ \(d_2\)।

প্রশ্নানুসারে, একটি বর্গের কর্ণ অন্যটির দ্বিগুণ।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: \(d_1 = 2d_2\)

এখন, প্রথম বর্গের ক্ষেত্রফল \(A_1\) হবে:

\(A_1 = \frac{d_1^2}{2}\)

\(A_1 = \frac{(2d_2)^2}{2}\)

\(A_1 = \frac{4d_2^2}{2}\)

এবং দ্বিতীয় বর্গের ক্ষেত্রফল \(A_2\) হবে:

\(A_2 = \frac{d_2^2}{2}\)

এখন, দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(A_1 : A_2\) নির্ণয় করি:

\(A_1 : A_2 = \frac{4d_2^2}{2} : \frac{d_2^2}{2}\)

উভয় পক্ষকে \(\frac{d_2^2}{2}\) দ্বারা ভাগ করে (যেহেতু \(d_2 \ne 0\)):

\(A_1 : A_2 = 4 : 1\)

অতএব, দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হলো 4 : 1।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যেহেতু বর্গের ক্ষেত্রফল কর্ণের বর্গের (square) সমানুপাতিক (\(A \propto d^2\)), যদি একটি বর্গের কর্ণ অন্যটির \(k\) গুণ হয়, তাহলে তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে \(k^2 : 1\)।

এখানে, কর্ণ দ্বিগুণ, অর্থাৎ \(k=2\)।

সুতরাং, ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে \(2^2 : 1 = 4 : 1\)।