Thirty six identical chairs must be arranged in rows with the same number of chairs in each row. Each row must contain at least 3 chairs and there must be at least 3 rows. A row is parallel to the front of the room. How many different arrangements are possible?

এখানে মোট ৩৬টি অভিন্ন চেয়ার আছে। এই চেয়ারগুলোকে সারি করে সাজাতে হবে যেখানে প্রতিটি সারিতে সমান সংখ্যক চেয়ার থাকবে।

ধরা যাক,

    
• সারির সংখ্যা (Number of rows) = \(r\)
    
• প্রতিটি সারিতে চেয়ারের সংখ্যা (Number of chairs in each row) = \(c\)

প্রশ্ন অনুযায়ী, মোট চেয়ার সংখ্যা হলো \(r \times c = 36\)।

শর্তাবলী:

    
1. প্রতিটি সারিতে কমপক্ষে ৩টি চেয়ার থাকতে হবে, অর্থাৎ \(c \ge 3\)।
    
2. কমপক্ষে ৩টি সারি থাকতে হবে, অর্থাৎ \(r \ge 3\)।

এখন আমরা ৩৬ এর সকল গুণনীয়ক জোড়া (factor pairs) বের করব এবং সেগুলো উপরের শর্তগুলো পূরণ করে কিনা তা যাচাই করব। গুণনীয়ক জোড়াগুলো \((r, c)\) আকারে লিখব:

    
1. \((1, 36)\): এখানে \(r=1\), যা \(r \ge 3\) শর্ত পূরণ করে না।
    
2. \((2, 18)\): এখানে \(r=2\), যা \(r \ge 3\) শর্ত পূরণ করে না।
    
3. \((3, 12)\): এখানে \(r=3\) এবং \(c=12\)। উভয় শর্ত (\(r \ge 3\) এবং \(c \ge 3\)) পূরণ করে। এটি একটি সম্ভাব্য বিন্যাস।
    
4. \((4, 9)\): এখানে \(r=4\) এবং \(c=9\)। উভয় শর্ত পূরণ করে। এটি একটি সম্ভাব্য বিন্যাস।
    
5. \((6, 6)\): এখানে \(r=6\) এবং \(c=6\)। উভয় শর্ত পূরণ করে। এটি একটি সম্ভাব্য বিন্যাস।
    
6. \((9, 4)\): এখানে \(r=9\) এবং \(c=4\)। উভয় শর্ত পূরণ করে। এটি একটি সম্ভাব্য বিন্যাস।
    
7. \((12, 3)\): এখানে \(r=12\) এবং \(c=3\)। উভয় শর্ত পূরণ করে। এটি একটি সম্ভাব্য বিন্যাস।
    
8. \((18, 2)\): এখানে \(c=2\), যা \(c \ge 3\) শর্ত পূরণ করে না।
    
9. \((36, 1)\): এখানে \(c=1\), যা \(c \ge 3\) শর্ত পূরণ করে না।

শর্ত পূরণকারী সম্ভাব্য বিন্যাসগুলো হলো:

    
1. ৩টি সারি এবং প্রতিটি সারিতে ১২টি চেয়ার।
    
2. ৪টি সারি এবং প্রতিটি সারিতে ৯টি চেয়ার।
    
3. ৬টি সারি এবং প্রতিটি সারিতে ৬টি চেয়ার।
    
4. ৯টি সারি এবং প্রতিটি সারিতে ৪টি চেয়ার।
    
5. ১২টি সারি এবং প্রতিটি সারিতে ৩টি চেয়ার।

সুতরাং, মোট ৫টি ভিন্ন উপায়ে চেয়ারগুলো সাজানো সম্ভব।