When the positive integers x and y are divided by the positive integer z, they yield remainders 12 and 22, respectively. If (x + y) is divided by z, the remainder is 6. What is the value of z?

Created: 9 months ago | Updated: 8 months ago

Updated: 8 months ago

ক

12
খ

15
গ

24
ঘ

28
ঙ

None

462

ব্যাখ্যাঃ

এই সমস্যাটি সমাধান করতে, আমরা ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) ব্যবহার করব।

যখন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে আরেকটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন ভাজ্য (Dividend) = ভাজক (Divisor) × ভাগফল (Quotient) + ভাগশেষ (Remainder)।

এখানে দেওয়া আছে:

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা x কে z দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 12।
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা y কে z দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 22।
(x + y) কে z দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 6।

শর্ত 1 থেকে আমরা লিখতে পারি:

$x = q_1 z + 12$

যেখানে $q_1$ হলো ভাগফল।

এখানে, ভাগশেষ 12 হওয়ায়, আমরা জানি $z > 12$।

শর্ত 2 থেকে আমরা লিখতে পারি:

$y = q_2 z + 22$

যেখানে $q_2$ হলো ভাগফল।

এখানে, ভাগশেষ 22 হওয়ায়, আমরা জানি $z > 22$।

এখন, $x$ এবং $y$ যোগ করি:

$x + y = (q_1 z + 12) + (q_2 z + 22)$

$x + y = (q_1 + q_2) z + 34$

শর্ত 3 অনুযায়ী, (x + y) কে z দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 6।

অর্থাৎ, $x + y$ কে $z$ দ্বারা ভাগ করলে, ভাগফল (ধরি $q_3$) এবং ভাগশেষ 6 পাওয়া যায়।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

$x + y = q_3 z + 6$

এখন, $x + y$ এর দুটি সমীকরণ তুলনা করে পাই:

$(q_1 + q_2) z + 34 = q_3 z + 6$

$34 - 6 = q_3 z - (q_1 + q_2) z$

$28 = (q_3 - q_1 - q_2) z$

উপরের সমীকরণটি থেকে বোঝা যায় যে 28 সংখ্যাটি $z$ দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, $z$ হলো 28 এর একটি গুণনীয়ক (divisor)।

28 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 4, 7, 14, 28।

আমরা আগেই দেখেছি যে $z > 12$ এবং $z > 22$। এই দুটি শর্ত একত্রিত করলে আমরা পাই $z > 22$।

এখন, 28 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র 28 সংখ্যাটি 22 এর চেয়ে বড়।

সুতরাং, $z$ এর মান হবে 28।

Najjar Hossain Raju

2 months ago

MCQ: 108 CQ: 13

Practice

ভাগশেষ নির্ণয়

ভাগশেষ নির্ণয় (Finding Remainder)

ভাগশেষ নির্ণয় বলতে বোঝায় কোনো সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকে তা বের করা। এটি গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, বিশেষ করে বিভাজ্যতা ও সংখ্যাতত্ত্বে।

মূল সূত্র

$A = B \times Q + R$

এখানে,
A = ভাজ্য (Dividend)
B = ভাজক (Divisor)
Q = ভাগফল (Quotient)
R = ভাগশেষ (Remainder)

ভাগশেষ নির্ণয়ের প্রধান পদ্ধতি

১. সরাসরি ভাগ (Direct Division Method)

সংখ্যাটিকে ভাজক দ্বারা ভাগ করে সরাসরি ভাগশেষ বের করা হয়।

উদাহরণ: 29 ÷ 5

5 × 5 = 25
29 − 25 = 4

অতএব, ভাগশেষ = 4

২. সূত্র ব্যবহার করে (Formula Method)

যদি ভাগফল জানা থাকে:

$R = A - (B \times Q)$

উদাহরণ:

A = 47, B = 6, Q = 7

R = 47 − (6 × 7) = 47 − 42 = 5

৩. ছোট ভাগের দ্রুত কৌশল (Short Trick Method)

• ভাজকের কাছাকাছি গুণফল বের করে বিয়োগ করতে হবে
• অবশিষ্ট অংশই ভাগশেষ

উদাহরণ: 83 ÷ 7

7 × 11 = 77
83 − 77 = 6

অতএব, ভাগশেষ = 6

৪. বিভাজ্যতা ব্যবহার করে (Using Divisibility)

যদি সংখ্যা সম্পূর্ণভাবে বিভাজ্য হয়, তবে ভাগশেষ = 0

উদাহরণ:

72 ÷ 8 = 9, ভাগশেষ 0

গুরুত্বপূর্ণ শর্ত

• ভাগশেষ সর্বদা ভাজকের চেয়ে ছোট হবে

$R < B$

উদাহরণসমূহ

• 25 ÷ 4 → ভাগশেষ 1
• 50 ÷ 6 → ভাগশেষ 2
• 100 ÷ 9 → ভাগশেষ 1

মনে রাখার কৌশল

• ভাগশেষ = অবশিষ্ট অংশ
• R = A − B×Q
• ভাগশেষ কখনোই ভাজকের সমান বা বেশি হতে পারে না

Related Question

View All

Find the smallest positive integer that leaves remainder 3 when divided by 7, remainder 4 when divided by 9, and remainder 8 when divided by 11.

Created: 2 months ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

256
খ

283
গ

361
ঘ

428

BB Bangladesh Bank Assistant Director গণিত ভাগশেষ নির্ণয়

131

If a number is successively divided by 3, 5 and 7 the remainders obtained are 1,0 and 3 respectively. If the number is divided by 105 what will be the remainder?

Created: 3 months ago | Updated: 3 months ago

Updated: 3 months ago

ক

3
খ

35
গ

38
ঘ

40
ঙ

None

BUET BSCIC Promotion Officer গণিত ভাগশেষ নির্ণয়

186

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২, ৩, ৫, ৬ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে?

24 Exams

Created: 3 months ago | Updated: 1 month ago

Updated: 1 month ago

ক

৬১
খ

৪১
গ

৩১
ঘ

৫১

PSC DOE Sample Collector PMO & Cabinet Division Administrative Officer - 2004 RAKUB RAKUB Officer (Cash) - 2010 KB Karmasangsthan Asst. Officer - 2012 Karmasangsthan Data Entry Operator - 2011 NTRCA 10th NTRCA College - 2014 SBC SBC Junior Officer - 2016 Primary Teacher Primary Teacher (Phase 4) - 2019 BPSC – Personal Officer - 2019 BPO – Postal Operator - 2019 Primary Teacher (Phase 1) - 2022 DNC Assistant Prosecutor - 2020 BRDB URDO - 2022 LGED – Electrician - 2023 LGED – Surveyor - 2023 PKB PKB Officer - 2023 PMG Khulna – Mail Operator - 2023 Karmasangsthan Officer - 2023 Kishoreganj PBS – Meter Reader/Messenger - 2024 NBR – Office Assistant - 2025 DPL Book Sorter - 2026 Combined Bank Combined Bank Officer - 2026 JSC Office Assistant (Typist) - 2026 BREB Assistant Store Keeper - 2026 DOE Sample Collector - 2026 গণিত ভাগশেষ নির্ণয়

101

নিচের কোন পূর্ণসংখ্যাকে ৩, ৪, ৫ ও ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে?

4 Exams

Created: 3 months ago | Updated: 1 month ago

Updated: 1 month ago

ক

৪৮
খ

৫৮
গ

৫৪
ঘ

৬০

PSC PMG Northern Circle Rajshahi Postal Operator BCS 40th BCS Preli - 2019 DSHE – Cashier/Store Keeper - 2021 BREB – General Manager - 2022 PMG Northern Circle Rajshahi Postal Operator - 2026 গণিত ভাগশেষ নির্ণয়

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৪, ৫ ও ৬ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৩ অবশিষ্ট থাকে?

24 Exams

Created: 4 months ago | Updated: 1 month ago

Updated: 1 month ago

ক

৩৩
খ

৪৩
গ

৫৩
ঘ

৬৩

PSC BREB Assistant Store Keeper PMO & Cabinet Division Administrative Officer - 2004 RAKUB RAKUB Officer (Cash) - 2010 KB Karmasangsthan Asst. Officer - 2012 Karmasangsthan Data Entry Operator - 2011 NTRCA 10th NTRCA College - 2014 SBC SBC Junior Officer - 2016 Primary Teacher Primary Teacher (Phase 4) - 2019 BPSC – Personal Officer - 2019 BPO – Postal Operator - 2019 Primary Teacher (Phase 1) - 2022 DNC Assistant Prosecutor - 2020 BRDB URDO - 2022 LGED – Electrician - 2023 LGED – Surveyor - 2023 PKB PKB Officer - 2023 PMG Khulna – Mail Operator - 2023 Karmasangsthan Officer - 2023 Kishoreganj PBS – Meter Reader/Messenger - 2024 NBR – Office Assistant - 2025 DPL Book Sorter - 2026 Combined Bank Combined Bank Officer - 2026 JSC Office Assistant (Typist) - 2026 BREB Assistant Store Keeper - 2026 DOE Sample Collector - 2026 গণিত ভাগশেষ নির্ণয়

If a positive integer leaves a remainder of 5 when divided by 12, what remainder will $7 x^{2} + 3 x + 4$ leave when divided by 6?

Created: 4 months ago | Updated: 4 months ago

Updated: 4 months ago

ক

0
খ

1
গ

2
ঘ

3

Combined Bank Combined Banks Officer গণিত ভাগশেষ নির্ণয়

160

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

When the positive integers x and y are divided by the positive integer z, they yield remainders 12 and 22, respectively. If (x + y) is divided by z, the remainder is 6. What is the value of z?

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion