When the positive integers x and y are divided by the positive integer z, they yield remainders 12 and 22, respectively. If (x + y) is divided by z, the remainder is 6. What is the value of z?

এই সমস্যাটি সমাধান করতে, আমরা ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) ব্যবহার করব।

যখন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে আরেকটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন ভাজ্য (Dividend) = ভাজক (Divisor) × ভাগফল (Quotient) + ভাগশেষ (Remainder)।

এখানে দেওয়া আছে:

    
1. ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা x কে z দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 12।
    
2. ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা y কে z দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 22।
    
3. (x + y) কে z দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 6।

শর্ত 1 থেকে আমরা লিখতে পারি:

\(x = q_1 z + 12\)

যেখানে \(q_1\) হলো ভাগফল।

এখানে, ভাগশেষ 12 হওয়ায়, আমরা জানি \(z > 12\)।

শর্ত 2 থেকে আমরা লিখতে পারি:

\(y = q_2 z + 22\)

যেখানে \(q_2\) হলো ভাগফল।

এখানে, ভাগশেষ 22 হওয়ায়, আমরা জানি \(z > 22\)।

এখন, \(x\) এবং \(y\) যোগ করি:

\(x + y = (q_1 z + 12) + (q_2 z + 22)\)

\(x + y = (q_1 + q_2) z + 34\)

শর্ত 3 অনুযায়ী, (x + y) কে z দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 6।

অর্থাৎ, \(x + y\) কে \(z\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগফল (ধরি \(q_3\)) এবং ভাগশেষ 6 পাওয়া যায়।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\(x + y = q_3 z + 6\)

এখন, \(x + y\) এর দুটি সমীকরণ তুলনা করে পাই:

\((q_1 + q_2) z + 34 = q_3 z + 6\)

\(34 - 6 = q_3 z - (q_1 + q_2) z\)

\(28 = (q_3 - q_1 - q_2) z\)

উপরের সমীকরণটি থেকে বোঝা যায় যে 28 সংখ্যাটি \(z\) দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, \(z\) হলো 28 এর একটি গুণনীয়ক (divisor)।

28 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 4, 7, 14, 28।

আমরা আগেই দেখেছি যে \(z > 12\) এবং \(z > 22\)। এই দুটি শর্ত একত্রিত করলে আমরা পাই \(z > 22\)।

এখন, 28 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র 28 সংখ্যাটি 22 এর চেয়ে বড়।

সুতরাং, \(z\) এর মান হবে 28।