|x| + |y| = 1 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

দেওয়া আছে সমীকরণটি হলো \(|x| + |y| = 1\)।

এই সমীকরণটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি বর্গক্ষেত্র নির্দেশ করে যার শীর্ষবিন্দুগুলি অক্ষের উপর অবস্থিত। এই ধরনের সমীকরণকে সাধারণত "ডায়মন্ড" বা "রম্বস" আকৃতির ক্ষেত্র বলে।

ক্ষেত্রটি বোঝার জন্য আমরা চারটি চতুর্থাংশ (quadrant) বিবেচনা করতে পারি:

    
1. প্রথম চতুর্থাংশ (x ≥ 0, y ≥ 0):
       \(x + y = 1\)
       এই রেখাটি x-অক্ষকে (1, 0) বিন্দুতে এবং y-অক্ষকে (0, 1) বিন্দুতে ছেদ করে।
    
2. দ্বিতীয় চতুর্থাংশ (x < 0, y ≥ 0):
       \(-x + y = 1\)
       এই রেখাটি x-অক্ষকে (-1, 0) বিন্দুতে এবং y-অক্ষকে (0, 1) বিন্দুতে ছেদ করে।
    
3. তৃতীয় চতুর্থাংশ (x < 0, y < 0):
       \(-x - y = 1 \Rightarrow x + y = -1\)
       এই রেখাটি x-অক্ষকে (-1, 0) বিন্দুতে এবং y-অক্ষকে (0, -1) বিন্দুতে ছেদ করে।
    
4. চতুর্থ চতুর্থাংশ (x ≥ 0, y < 0):
       \(x - y = 1\)
       এই রেখাটি x-অক্ষকে (1, 0) বিন্দুতে এবং y-অক্ষকে (0, -1) বিন্দুতে ছেদ করে।

এই চারটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রটির শীর্ষবিন্দুগুলি হলো (1, 0), (0, 1), (-1, 0) এবং (0, -1)। এই বিন্দুগুলো একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করে।

এই বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে:

পদ্ধতি ১: বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করে

বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য, যেমন (1, 0) এবং (0, 1) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করি।

দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে:

\(s = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

\(s = \sqrt{(0 - 1)^2 + (1 - 0)^2}\)

\(s = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2}\)

\(s = \sqrt{1 + 1}\)

\(s = \sqrt{2}\)

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \(s^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\)

পদ্ধতি ২: কর্ণ ব্যবহার করে

বর্গক্ষেত্রটির কর্ণ দুটি x-অক্ষ এবং y-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

একটি কর্ণ (1, 0) এবং (-1, 0) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব। এর দৈর্ঘ্য \(d_1 = |1 - (-1)| = 2\)।

অন্য কর্ণ (0, 1) এবং (0, -1) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব। এর দৈর্ঘ্য \(d_2 = |1 - (-1)| = 2\)।

যেহেতু কর্ণদ্বয় সমান এবং পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, এটি একটি বর্গক্ষেত্র।

একটি বর্গের ক্ষেত্রফল তার কর্ণের দৈর্ঘ্যের উপর ভিত্তি করে হয় \(\frac{1}{2}d^2\), যেখানে d হলো কর্ণের দৈর্ঘ্য।

ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2\)

পদ্ধতি ৩: চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যোগ করে

মূলবিন্দু (0,0) এবং চারটি শীর্ষবিন্দু দ্বারা চারটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়।

প্রথম চতুর্থাংশে, মূলবিন্দু (0,0), (1,0) এবং (0,1) বিন্দু দ্বারা একটি ত্রিভুজ গঠিত হয়।

এই ত্রিভুজের ভূমি = 1 একক এবং উচ্চতা = 1 একক।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}\)

যেহেতু চারটি চতুর্থাংশে চারটি একই রকম ত্রিভুজ রয়েছে, তাই মোট ক্ষেত্রফল হবে:

\(4 \times \frac{1}{2} = 2\)

সাধারণভাবে, \(|x| + |y| = a\) সমীকরণ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো \(2a^2\)।

এই ক্ষেত্রে, \(a = 1\)।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = \(2 \times (1)^2 = 2 \times 1 = 2\)

অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো 2 বর্গ একক।