$x^3-6x^2+11x-6=0$ সমীকরণের মূলগুলোর বর্গের সমষ্টি কত?

আমরা জানি, \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) আকারের একটি ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় যদি \(\alpha\), \(\beta\), এবং \(\gamma\) হয়, তাহলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্কগুলো হলো:

    
• মূলগুলির যোগফল: \(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\)
    
• মূলগুলির দুটি করে গুণফলের যোগফল: \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}\)
    
• মূলগুলির গুণফল: \(\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)

এই সমীকরণটিকে \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই:

\(a = 1\)

\(b = -6\)

\(c = 11\)

\(d = -6\)

এখন, মূলগুলির যোগফল (\(\alpha + \beta + \gamma\)):

\(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{(-6)}{1} = 6\)

মূলগুলির দুটি করে গুণফলের যোগফল (\(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha\)):

\(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{11}{1} = 11\)

আমাদেরকে মূলগুলির বর্গের সমষ্টি (\(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\)) নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি:

\((\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)\)

এই সূত্র থেকে, মূলগুলির বর্গের সমষ্টি হবে:

\(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)\)

এখন আমরা প্রাপ্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:

\(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (6)^2 - 2(11)\)

\(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 36 - 22\)

\(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 14\)

সুতরাং, সমীকরণের মূলগুলোর বর্গের সমষ্টি হলো 14।