$y=x^3-7x^2=5x$ বক্ররেখার (5, 4) বিন্দতে ঢাল কত?

একটি বক্ররেখার কোনো বিন্দুতে ঢাল নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে ঐ বক্ররেখার সমীকরণকে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করতে হয়। অন্তরীকরণের পর প্রাপ্ত সমীকরণে বিন্দুর \(x\)-স্থানাঙ্ক বসিয়ে দিলে ঐ বিন্দুতে ঢাল পাওয়া যায়।

প্রদত্ত প্রশ্নটিতে বক্ররেখার সমীকরণটি হলো: \(y = x^3 - 7x^2 = 5x\)। এই সমীকরণটি গাণিতিকভাবে ত্রুটিপূর্ণ, কারণ একটি \(y\) চলক একই সাথে দুইটি ভিন্ন রাশির সমান হতে পারে না, যদি না রাশি দুইটি একে অপরের সমান হয়। তবে, সাধারণত এই ধরনের ক্ষেত্রে দ্বিতীয় "=" চিহ্নটি "+" অথবা "-" চিহ্ন হিসেবে ভুলবশত ব্যবহার করা হয়। বিকল্পগুলোতে প্রাপ্ত উত্তর বিবেচনা করে, আমরা ধরে নিচ্ছি সমীকরণটি হবে \(y = x^3 - 7x^2 + 5x\)।

এছাড়াও, প্রদত্ত বিন্দু (5, 4) যদি আমরা এই অনুমিত সমীকরণে বসাই:

\(y = (5)^3 - 7(5)^2 + 5(5)\)

\(y = 125 - 7(25) + 25\)

\(y = 125 - 175 + 25\)

\(y = -25\)

যেহেতু \(y = -25 \neq 4\), তাই (5, 4) বিন্দুটি \(y = x^3 - 7x^2 + 5x\) বক্ররেখার উপর অবস্থিত নয়। তবে, প্রশ্নটি যেহেতু (5, 4) বিন্দুতে ঢাল জানতে চেয়েছে, তাই আমরা \(x=5\) অবস্থানে বক্ররেখার ঢাল নির্ণয় করব, এবং ধরে নিব যে প্রশ্নের মূল উদ্দেশ্য ছিল একটি নির্দিষ্ট \(x\)-স্থানাঙ্কে ঢাল নির্ণয় করা, এবং \(y\)-স্থানাঙ্কটি ভুলবশত দেওয়া হয়েছে বা বক্ররেখার সমীকরণটিই সম্পূর্ণ ভিন্ন হওয়ার কথা ছিল।

ধরি, বক্ররেখার সমীকরণটি হলো: \(y = x^3 - 7x^2 + 5x\)

এই বক্ররেখার ঢাল নির্ণয় করার জন্য, আমরা এটিকে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করব:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 7x^2 + 5x)\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(7x^2) + \frac{d}{dx}(5x)\)

\(\frac{dy}{dx} = 3x^{3-1} - 7 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1}\)

\(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 14x + 5\)

এখন, আমরা \(x=5\) বিন্দুতে ঢাল নির্ণয় করব। (প্রদত্ত বিন্দুর \(x\)-স্থানাঙ্ক 5):

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{x=5} = 3(5)^2 - 14(5) + 5\)

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{x=5} = 3(25) - 70 + 5\)

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{x=5} = 75 - 70 + 5\)

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{x=5} = 5 + 5\)

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{x=5} = 10\)

সুতরাং, অনুমিত সমীকরণ \(y = x^3 - 7x^2 + 5x\) অনুযায়ী, বক্ররেখার \(x=5\) বিন্দুতে ঢাল হলো 10।

গুরুত্বপূর্ণ নোট: প্রশ্নটিতে প্রদত্ত সমীকরণ \(y = x^3 - 7x^2 = 5x\) গাণিতিকভাবে অসংজ্ঞায়িত। একটি সম্ভাব্য সঠিক সমীকরণ ধরে নিয়ে এবং বিকল্পগুলোর সাথে সামঞ্জস্য রেখে এই সমাধানটি করা হয়েছে। এছাড়াও, (5, 4) বিন্দুটি এই অনুমিত বক্ররেখার উপর অবস্থিত নয়। প্রশ্নটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ায় এই ধরনের অনুমান প্রয়োজন হয়েছে।