একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। এর দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। এর ভিতরে চারদিকে সমান প্রস্থবিশিষ্ট একটি রাস্তা আছে।

মনে করি, আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য x মিটার

                                          এবং প্রস্থ y মিটার

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = xy বর্গ মি.  

প্রশ্নমতে, xy = 192

এবং, $(x - 4)(y + 4) = 192$

নির্ণেয় সমীকরণ $xy = 192$

এবং $(x - 4)(y + 4) = 192$

ক' হতে প্রাপ্ত, xy = 192………………(1)

এবং, (x - 4)(y + 4) = 192 ……… (2)

বা, xy + 4x - 4y - 16 = 192

বা, $192 + 4(x - y) - 16 =192$ [ $\left(1\right)$ এর সাহায্যে ]

বা, $4(x - y) = 16$

বা, $x - y = 4$

$\therefore$ $x = y + 4$………………$\left(3\right)$

(1) নং এ x = y + 4 বসিয়ে পাই,

$(y + 4) y = 192$

বা, $y^2+4y-192=0$

বা, $y^2-12y+16y-192=0$

বা, $y(y - 12) + 16(y - 12) = 0$

বা, $(y - 12)(y + 16) = 0$

হয়, $y - 12 = 0$

বা, $y = 12$

অথবা, y + 16 = 0

বা, y = - 16 যা গ্রহণযোগ্য নয় কারণ প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না।

(3)নং এ y = 12 বসিয়ে পাই,

$x = 12 + 4$

বা, x = 16

$\therefore$ বাগানের দৈর্ঘ্য 16 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার  

$\therefore$ বাগানের পরিসীমা = 2 (16+12) মিটার  

                                      $=\left(2\times 28\right)=56$ মিটার

নির্ণেয় বাগানের পরিসীমা 56 মিটার।

`খ' হতে প্রাপ্ত, বাগানের দৈর্ঘ্য 16 মিটার এবং বাগানের প্রস্থ 12 মিটার

ধরি, রাস্তার বিস্তার x মিটার

∴ রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = (16-2x) মিটার

এবং রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = (12 - 2x) মিটার

∴ রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (16 - 2x)(12 - 2x) বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে, $(16-2x) (12 - 2x) = 96$

বা, $192-32x-24x+4x^2=96$

বা, $4x^2-56x=96-192$

বা, $4(x^2-14x)=-96$

বা, $x^2-14x=-24$

বা, $x^2-2x-12x+24=0$

বা, $x(x - 2) - 12(x - 2) = 0$

বা,  $(x - 2)(x - 12) = 0$

হয়, x - 2 = 0

বা, $x = 2$

অথবা, $x - 12 = 0$

বা, x = 12 যা গ্রহণযোগ্য নয় কারণ রাস্তার বিস্তার প্রস্থের সমান হতে পারে না।

নির্ণেয় রাস্তার বিস্তার 2 মিটার।