একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমির $\frac{11}{12}$ অংশ থেকে 6 সে.মি. কম এবং অতিভুজ ভূমির $\frac{4}{3}$ অংশ থেকে ও সে.মি. কম।

সমকোণী ত্রিভুজটির ভূমি x সে.মি. হলে লম্ব = $\left(\frac{11x}{12}-6\right)$ সে.মি.

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল  $=\frac{1}{2}\times x\times \left(\frac{11x}{12}- 6\right)$ বর্গ সে.মি.

$=\frac{11x^2}{24}-3x=\frac{11x^2-72x}{24}$ বর্গ সে.মি.

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{11x^2-72x}{24}$ বর্গ সে.মি.।

এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি, AB = x সে.মি.

লম্ব, $AC =\left(\frac{11x}{12}- 6\right)$ বর্গ সে.মি

এবং অতিভুজ, $BC=\left(\frac{4x}{3}- 3\right)$ বর্গ সে.মি.

ABC সমকোণী ত্রিভুজে, $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

বা,  $x^2+{\left(\frac{11x}{12}-6\right)}^2={\left(\frac{4x}{3}-3\right)}^{{}^2}$

বা, $x^2+{\left(\frac{11x}{12}\right)}^2-2.\frac{11x}{12}.6+6^2={\left(\frac{4x}{3}\right)}^2-2.\frac{4x}{3}.3+3^2$

বা, $x^2+\frac{121x^2}{144}-11x+36=\frac{16x^2}{9}-8x+9$

বা,  $\frac{144x^2+121x^2}{144}-11x+36=\frac{16x^2}{9}-8x+9$

বা,  $\frac{265x^2}{144}-\frac{16x^2}{9}-11x+8x+36-9=0$

বা,  $\frac{265x^2-256x^2}{144}-3x+27=0$

বা,  $\frac{9x^2}{144}-3x+27=0$

বা,  $\frac{x^2}{16}-3x+27=0$

বা,  $x^2-48x+432=0$

বা,  $x^2-12x-36x+432=0$

বা,  x(x - 12) - 36(x - 12) = 0

বা,  (x - 12)(x - 36) = 0

হয় x - 12 = 0

বা, x = 12

অথবা, x - 36 = 0

বা, x = 36

ভূমির দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. বা 36 সে.মি.।

ত্রিভুজটির ভূমি 12 সে.মি. হলে

লম্ব = $\left(\frac{11}{12}\times 12-6\right)$ সে.মি. = (11 - 6) সে.মি. = 5 সে.মি.

অতিভুজ =  $\left(\frac{4}{3}\times 12 - 3\right)$ সে.মি. = (16 - 3) সে.মি. = 13 সে.মি.

$\therefore$ ত্রিভুজটির পরিসীমা = (12 + 5 + 13) সে.মি. = 30 সে.মি.

ত্রিভুজটির পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 30 সে.মি.

$\therefore$ সমবাহু ত্রিভুজটির একবাহুর দৈর্ঘ্য $= \frac{30}{3}$ সে.মি. = 10 সে.মি.

$\therefore$ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল,

$= \frac{\sqrt{3}}{4}\times (10{)}^2$ বর্গ সে.মি.

= $\frac{\sqrt{3}}{4}\times 100$ বর্গ সে.মি.

= 43.301 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

$\therefore$ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 43.301 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।