একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু থেকে তিনটির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি., 7 সে.মি. ও 8 সে.মি.। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

মনে করি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। এর অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু। O বিন্দু হতে BC, AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে, OD, OE এবং OF লম্ব আঁকি।

ধরি, ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য x সে. মি. হলে সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\frac{\sqrt{3}}{4}$$x^2$ বর্গ সে. মি.।

দেওয়া আছে, OD = 6 সে. মি., OE = 7 সে. মি. OF = সে. মি.

আবার, Δ-ক্ষেত্র ABC = Δ-ক্ষেত্র BOC+ Δ-ক্ষেত্র AOC + Δ-ক্ষেত্র AOB

△-ক্ষেত্র BOC = $\frac{1}{2}BC\times OD$$\frac{1}{2}x\times 6=3x$বর্গ সে. মি.

△-ক্ষেত্র AOC = $\frac{1}{2}AC\times OE=\frac{1}{2}x\times 7=\frac{7x}{2}$বর্গ সে. মি.

△-ক্ষেত্র, AOB $\frac{1}{2}AB\times OF=\frac{1}{2}x\times 8=4x$ বর্গ সে. মি.

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2=3x+\frac{7x}{2}+4x$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2=\frac{6x + 7x + 8x}{2}=\frac{21x}{2}$

বা, $\sqrt{3}{x}^2=42x$ [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]

বা, $\sqrt{3}x=42$

বা, $x=\frac{42}{\sqrt{3}}=\frac{42\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=\frac{42\sqrt{3}}{3}$

$=14\sqrt{3}= 24.249$ (প্রায়)

বাহুর দৈর্ঘ্য 24.249 সে. মি. (প্রায়)।

∴ ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$বর্গ সে. মি.

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (24.249{)}^2$ বর্গ সে. মি.

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 588=254.611$ বর্গ সে. মি.

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 24.249 সে.মি. (প্রায়)

এবং ক্ষেত্রফল 254.611 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।