একটি সামান্তরিকের বাহুর দৈর্ঘ্য 24 সে. মি. এবং 18 সে. মি.। এর ক্ষুদ্রতম কর্ণটি 20 সে. মি.।

আমরা জানি,

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ একক

∴ 4 সে.মি. বায়ুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4^2$ বর্গ সে.মি.

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 16$ বর্গ সে.মি. $=4\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $4\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি.।

মনে করি,

ABCD সামান্তরিকের AB = a =24 সে.মি. AD = c = 18 সে.মি. এবং BD = b = 20 সে.মি.

ΔABD এর অর্ধপরিসীমা, $s=\frac{24 + 18 + 20}{2}=31$ সে.মি.

ΔABD এর ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ বর্গ একক

$=\sqrt{31(31 - 24)(31 - 18)(31 - 20)}$ বর্গ সে.মি.

$=\sqrt{31 \times 7 \times 13 \times 11}$ বর্গ সে.মি. = 176.15 বর্গ সে.মি.

Δ ABD এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times AB \times DF$

বা, $176.15 =\frac{1}{2}\times 24\times DF$

বা, $DF =\frac{176.15 \times 2}{24}$ সে.মি.

Δ BCE সমকোণী হতে পাই,

$C{E}^2 + B{E}^2=B{C}^2$

বা, $B{E}^2=B{C}^2-C{B}^2-(18{)}^2-(14.67{)}^2$ $\left[\because CE=DF\right]$

$B{E}^2=108.79$

BE = 10.43 সে.মি.

AE = AB + BE = 24 + 10.43 = 34.43 সে.মি.

আবার, △ AEC সমকোণী ত্রিভুজে

$A{C}^2=A{E}^2+C{E}^2=(34.43{)}^2+(14.67{)}^2$

$=1185.4249+215.2089=1400.633$

AC = 37.425 সে.মি.

নির্ণেয় সামান্তরিকের অপর কর্ণ 37.425 সে.মি.।

সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(24+18) সে.মি. = 84 সে.মি.

পরিসীমার অর্ধেক $=\frac{1}{2}\times 84=42$ সে.মি.

সুষম ষড়ভুজের এক বাহু, $a=\frac{42}{6}$ সে.মি. = 7 সে.মি.

∴ ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{6a^2}{4}cot \frac{180°}{6}$

$=\frac{6\times 7^2}{4}cot 30°$ = 127.30 বর্গ সে.মি.

ষড়ভুজের কেন্দ্র হতে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব r হলে,

$\frac{1}{2} .r.r \sin 60°=\frac{1}{6}\times 127.30$

বা, $r^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=21.21\times 2$

বা, $r^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=42.42$

বা, $r^2=48.98$

∴ r = 6.99 $\approx$ 7

কৌণিক বিন্দুর দূরত্বই হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\mathrm{\pi }$(7)² বর্গ সে.মি. = 153.94 বর্গ সে.মি.

∴ বৃত্তের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল

= (153.94 - 127.30) বর্গ সে.মি. = 26.64 বর্গ সে.মি.।