প্রমাণ কর যে, $\frac{a + b}{a -b}= \tan \left(\frac{A + B}{2}\right) cot\left(\frac{A - B}{2}\right)$

দেওয়া আছে, একটি ত্রিভুজ ABC এ,

\(C = \frac{\pi}{2}\)

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি \(\pi\) (বা 180°)।

অর্থাৎ, \(A + B + C = \pi\)

মান বসিয়ে পাই,

\(A + B + \frac{\pi}{2} = \pi\)

\(A + B = \pi - \frac{\pi}{2}\)

\(A + B = \frac{\pi}{2}\)

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{4}\)

বামপক্ষ (LHS) বিবেচনা করি:

\((1 + \tan\frac{A}{2})(1 + \tan\frac{B}{2})\)

\(= 1 + \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\) .......... (i)

আমরা জানি, \(\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}\)

সুতরাং, \(\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}\)

যেহেতু, \(\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{4}\)

সুতরাং, \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}\)

\(1 = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}\)

\(1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2} = \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}\)

\(1 = \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\)

এখন, এই মানটি সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই:

বামপক্ষ \(= 1 + (\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2})\)

\(= 1 + 1\)

\(= 2\)

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ প্রমাণিত হলো।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।

দেওয়া আছে, \(\angle B = 45^\circ\) এবং \(\angle C = 60^\circ\)।

সুতরাং, \(\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\)।

ত্রিভুজের একটি বাহু ও তিনটি কোণ জানা থাকলে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}\]

এখানে, \(a = \sqrt{3} + 1\) সে.মি., \(\angle A = 75^\circ\), \(\angle B = 45^\circ\) এবং \(\angle C = 60^\circ\)।

এখন আমরা প্রয়োজনীয় sine মানগুলো নির্ণয় করব:

\(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}\)

\(\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

প্রাপ্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(3 + 2\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(4 + 2\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{2(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(2 + \sqrt{3})\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + 1}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(2\sqrt{3} + 3)}{\sqrt{3} + 1}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(2\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{2 \cdot 3 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3}{3 - 1}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{6 + \sqrt{3} - 3}{2}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\]

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\) বর্গ সে.মি.।