$∆$ ABC এ BC, CA ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c.

Created: 11 months ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

প্রমাণ কর যে, $\frac{a + b}{a - b} = \tan (\frac{A + B}{2}) c o t (\frac{A - B}{2})$

উত্তরঃ

আমরা জানি, সাইন সূত্রানুসারে (According to the Sine Rule), `$\Delta ABC$`-তে:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] যেখানে `$R$` হলো `$\Delta ABC$`-এর পরিব্যাসার্ধ (circumradius)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\[ a = 2R \sin A \]

\[ b = 2R \sin B \]

বামপক্ষ (LHS) থেকে পাই:

\[ \frac{a+b}{a-b} \]

`$a$` ও `$b$`-এর মান বসিয়ে পাই:

\[ = \frac{2R \sin A + 2R \sin B}{2R \sin A - 2R \sin B} \]

\[ = \frac{2R(\sin A + \sin B)}{2R(\sin A - \sin B)} \]

\[ = \frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B} \]

আমরা জানি, যোগফল ও বিয়োগফলের সূত্রানুসারে (Using sum-to-product and difference-to-product formulas):

\[ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

\[ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[ = \frac{2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)} \]

\[ = \left(\frac{\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)}\right) \cdot \left(\frac{\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)}\right) \]

\[ = \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) \cot\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

এটি ডানপক্ষের (RHS) সমান।

সুতরাং, `$\frac{a+b}{a-b} = \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) \cot\left(\frac{A-B}{2}\right)$` (প্রমাণিত)।

Satt AI

2 weeks ago

(খ)

$C = \frac{π}{2}$ হলে, দেখাও যে, $(1 + \tan \frac{A}{2}) (1 + \tan \frac{B}{2}) = 2$

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, একটি ত্রিভুজ ABC এ,

$C = \frac{\pi}{2}$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $\pi$ (বা 180°)।

অর্থাৎ, $A + B + C = \pi$

মান বসিয়ে পাই,

$A + B + \frac{\pi}{2} = \pi$

$A + B = \pi - \frac{\pi}{2}$

$A + B = \frac{\pi}{2}$

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{4}$

বামপক্ষ (LHS) বিবেচনা করি:

$(1 + \tan\frac{A}{2})(1 + \tan\frac{B}{2})$

$= 1 + \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}$ .......... (i)

আমরা জানি, $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$

সুতরাং, $\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}$

যেহেতু, $\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{4}$

সুতরাং, $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}$

$1 = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}$

$1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2} = \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}$

$1 = \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}$

এখন, এই মানটি সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই:

বামপক্ষ $= 1 + (\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2})$

$= 1 + 1$

$= 2$

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ প্রমাণিত হলো।

Satt AI

2 weeks ago

(গ)

$∠ B = 45^{°}, ∠ C = 60^{°}$ এবং $a = \sqrt{3} + 1$ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।

দেওয়া আছে, $\angle B = 45^\circ$ এবং $\angle C = 60^\circ$।

সুতরাং, $\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$।

ত্রিভুজের একটি বাহু ও তিনটি কোণ জানা থাকলে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}\]

এখানে, $a = \sqrt{3} + 1$ সে.মি., $\angle A = 75^\circ$, $\angle B = 45^\circ$ এবং $\angle C = 60^\circ$।

এখন আমরা প্রয়োজনীয় sine মানগুলো নির্ণয় করব:

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

প্রাপ্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(3 + 2\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(4 + 2\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{2(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(2 + \sqrt{3})\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + 1}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(2\sqrt{3} + 3)}{\sqrt{3} + 1}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{(2\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{2 \cdot 3 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3}{3 - 1}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{6 + \sqrt{3} - 3}{2}\]

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\]

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ বর্গ সে.মি.।

Satt AI

2 weeks ago

MCQ: 6.1k

Practice

Related Question

View All

(ক)

A = (1 2 3) এবং $B = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ হলে (AB)^t নির্ণয় কর।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

621

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ম্যাট্রিক্স A = $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $ এবং B = $ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $। প্রথমে AB নির্ণয় করা যাক। ম্যাট্রিক্স A এর ক্রম 1x3 এবং B এর ক্রম 3x1। যেহেতু প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা (3) এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা (3) সমান, তাই তাদের গুণফল একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।

অতএব, AB = $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3) + (2 \times 2) + (3 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 4 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} $।

এখন, (AB)^t নির্ণয় করতে হবে। যেকোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (Transposed Matrix) হলো তার সারিগুলোকে কলামে এবং কলামগুলোকে সারিতে রূপান্তর করা। যেহেতু AB একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স যা শুধুমাত্র একটি উপাদান নিয়ে গঠিত, তাই এর ট্রান্সপোজ করলে ম্যাট্রিক্সটি নিজেই অপরিবর্তিত থাকে।

সুতরাং, (AB)^t = $ \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} ^t = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} $।

Satt AI

1 week ago

621

(খ)

দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর ।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

612

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট:

$x + y + z = 1 \quad \ldots(1)$

$x + 2y + z = 2 \quad \ldots(2)$

$x + y + 2z = 0 \quad \ldots(3)$

নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধানের জন্য, সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $D$ নির্ণয় করি:

\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)$

$= 1(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2)$

$= 1(3) - 1(1) + 1(-1)$

$= 3 - 1 - 1$

$= 1$

এখন, $x$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_x$ নির্ণয় করি (প্রথম কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(2 \times 2 - 1 \times 0) + 1(2 \times 1 - 2 \times 0)$

$= 1(4 - 1) - 1(4 - 0) + 1(2 - 0)$

$= 1(3) - 1(4) + 1(2)$

$= 3 - 4 + 2$

$= 1$

$\therefore x = \frac{D_x}{D} = \frac{1}{1} = 1$

এরপর, $y$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_y$ নির্ণয় করি (দ্বিতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 0) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 0 - 2 \times 1)$

$= 1(4 - 0) - 1(2 - 1) + 1(0 - 2)$

$= 1(4) - 1(1) + 1(-2)$

$= 4 - 1 - 2$

$= 1$

$\therefore y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{1} = 1$

সবশেষে, $z$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_z$ নির্ণয় করি (তৃতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 0 - 2 \times 1) - 1(1 \times 0 - 2 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)$

$= 1(0 - 2) - 1(0 - 2) + 1(1 - 2)$

$= 1(-2) - 1(-2) + 1(-1)$

$= -2 + 2 - 1$

$= -1$

$\therefore z = \frac{D_z}{D} = \frac{-1}{1} = -1$

অতএব, নির্ণয় সমাধান: $x = 1, y = 1, z = -1$

Satt AI

1 week ago

612

(গ)

দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, D = S³ যেখানে S = p+q+r.

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

705

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

এবং S = p+q+r

বামপক্ষ,

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

প্রথম সারির উপাদানগুলোকে পুনরায় সাজাই:

$p-q-r = p+q+r - 2q - 2r = S - 2(q+r)$

$q-r-p = p+q+r - 2r - 2p = S - 2(r+p)$

$r-p-q = p+q+r - 2p - 2q = S - 2(p+q)$

এখন, ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিতে $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ প্রয়োগ করে পাই:

$R_1 = \left( \frac{p-q-r}{2} + q + r, \ p + \frac{q-r-p}{2} + r, \ p + q + \frac{r-p-q}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{p-q-r+2q+2r}{2}, \ \frac{2p+q-r-p+2r}{2}, \ \frac{2p+2q+r-p-q}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2} \right)$

সুতরাং, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{S}{2} & \frac{S}{2} & \frac{S}{2} \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

প্রথম সারি থেকে $\frac{S}{2}$ কমন নিয়ে পাই:

D = $8 \cdot \frac{S}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

D = $4S \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

এখন, $C_2 \to C_2 - C_1$ এবং $C_3 \to C_3 - C_1$ কলাম অপারেশন প্রয়োগ করি:

$C_2' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ \frac{q-r-p}{2} - q \\ r-r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{q-r-p-2q}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-q-r-p}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{S}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

$C_3' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ q-q \\ \frac{r-p-q}{2} - r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{r-p-q-2r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{-p-q-r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{S}{2} \end{pmatrix}$

অতএব, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = $4S \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ q & -\frac{S}{2} & 0 \\ r & 0 & -\frac{S}{2} \end{vmatrix}$

এটি একটি নিম্ন ত্রিভুজাকার নির্ণায়ক, যার মান প্রধান কর্ণ বরাবর উপাদানগুলোর গুণফলের সমান:

D = $4S \left( 1 \cdot (-\frac{S}{2}) \cdot (-\frac{S}{2}) \right)$

D = $4S \left( \frac{S^2}{4} \right)$

D = $S^3$

সুতরাং, D = S³ (প্রমাণিত)।

Satt AI

1 week ago

705

(ক)

P + Q ম্যাট্রিক্সের ট্রেস নির্ণয় কর।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

605

Add Explanation

605

(খ)

প্রমাণ কর যে, ${(P Q)}^{t} = Q^{t} P^{t}$

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

498

Add Explanation

498

(গ)

PR = RP = I হলে R ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। যেখানে I একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

817

Add Explanation

817

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

∆ABC এ BC, CA ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c.

Related Question

Related Question

Promotion

$∆$ ABC এ BC, CA ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c.