$\angle B ={45}^{°} , \angle C = {60}^{°}$ এবং $a = \sqrt{3} + 1$ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

আমরা জানি, সাইন সূত্রানুসারে (According to the Sine Rule), `\(\Delta ABC\)`-তে:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] যেখানে `\(R\)` হলো `\(\Delta ABC\)`-এর পরিব্যাসার্ধ (circumradius)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\[ a = 2R \sin A \]

\[ b = 2R \sin B \]

বামপক্ষ (LHS) থেকে পাই:

\[ \frac{a+b}{a-b} \]

`\(a\)` ও `\(b\)`-এর মান বসিয়ে পাই:

\[ = \frac{2R \sin A + 2R \sin B}{2R \sin A - 2R \sin B} \]

\[ = \frac{2R(\sin A + \sin B)}{2R(\sin A - \sin B)} \]

\[ = \frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B} \]

আমরা জানি, যোগফল ও বিয়োগফলের সূত্রানুসারে (Using sum-to-product and difference-to-product formulas):

\[ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

\[ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[ = \frac{2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)} \]

\[ = \left(\frac{\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)}\right) \cdot \left(\frac{\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)}\right) \]

\[ = \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) \cot\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

এটি ডানপক্ষের (RHS) সমান।

সুতরাং, `\(\frac{a+b}{a-b} = \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) \cot\left(\frac{A-B}{2}\right)\)` (প্রমাণিত)।

দেওয়া আছে, একটি ত্রিভুজ ABC এ,

\(C = \frac{\pi}{2}\)

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি \(\pi\) (বা 180°)।

অর্থাৎ, \(A + B + C = \pi\)

মান বসিয়ে পাই,

\(A + B + \frac{\pi}{2} = \pi\)

\(A + B = \pi - \frac{\pi}{2}\)

\(A + B = \frac{\pi}{2}\)

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{4}\)

বামপক্ষ (LHS) বিবেচনা করি:

\((1 + \tan\frac{A}{2})(1 + \tan\frac{B}{2})\)

\(= 1 + \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\) .......... (i)

আমরা জানি, \(\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}\)

সুতরাং, \(\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}\)

যেহেতু, \(\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{4}\)

সুতরাং, \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}\)

\(1 = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}\)

\(1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2} = \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}\)

\(1 = \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\)

এখন, এই মানটি সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই:

বামপক্ষ \(= 1 + (\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2})\)

\(= 1 + 1\)

\(= 2\)

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ প্রমাণিত হলো।