দেওয়া আছে, একটি ত্রিভুজ ABC এ,
\(C = \frac{\pi}{2}\)
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি \(\pi\) (বা 180°)।
অর্থাৎ, \(A + B + C = \pi\)
মান বসিয়ে পাই,
\(A + B + \frac{\pi}{2} = \pi\)
\(A + B = \pi - \frac{\pi}{2}\)
\(A + B = \frac{\pi}{2}\)
উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
\(\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{4}\)
বামপক্ষ (LHS) বিবেচনা করি:
\((1 + \tan\frac{A}{2})(1 + \tan\frac{B}{2})\)
\(= 1 + \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\) .......... (i)
আমরা জানি, \(\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}\)
সুতরাং, \(\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}\)
যেহেতু, \(\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{4}\)
সুতরাং, \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}\)
\(1 = \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}\)
\(1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2} = \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}\)
\(1 = \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\)
এখন, এই মানটি সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই:
বামপক্ষ \(= 1 + (\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2})\)
\(= 1 + 1\)
\(= 2\)
সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ প্রমাণিত হলো।
Related Question
View Allআমরা জানি, সাইন সূত্রানুসারে (According to the Sine Rule), `\(\Delta ABC\)`-তে:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] যেখানে `\(R\)` হলো `\(\Delta ABC\)`-এর পরিব্যাসার্ধ (circumradius)।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
\[ a = 2R \sin A \]
\[ b = 2R \sin B \]
বামপক্ষ (LHS) থেকে পাই:
\[ \frac{a+b}{a-b} \]
`\(a\)` ও `\(b\)`-এর মান বসিয়ে পাই:
\[ = \frac{2R \sin A + 2R \sin B}{2R \sin A - 2R \sin B} \]
\[ = \frac{2R(\sin A + \sin B)}{2R(\sin A - \sin B)} \]
\[ = \frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B} \]
আমরা জানি, যোগফল ও বিয়োগফলের সূত্রানুসারে (Using sum-to-product and difference-to-product formulas):
\[ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \]
\[ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \]
মানগুলো বসিয়ে পাই:
\[ = \frac{2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)} \]
\[ = \left(\frac{\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)}\right) \cdot \left(\frac{\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)}\right) \]
\[ = \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) \cot\left(\frac{A-B}{2}\right) \]
এটি ডানপক্ষের (RHS) সমান।
সুতরাং, `\(\frac{a+b}{a-b} = \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) \cot\left(\frac{A-B}{2}\right)\)` (প্রমাণিত)।
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
