প্রমাণ কর যে, $p^8{q}^8{r}^8 \left(\frac{1}{p^{12}}+\frac{1}{q^{12}}+\frac{1}{r^{12}}\right)=p^{12}+q^{12}+r^{12}$

ক : খ এবং খ : গ আকারের অনুপাত দুইটিকে সাধারণত ক : খ : গ আকারে লেখা হয়। একে ধারাবাহিক অনুপাত বলে। যেকোনো দুই বা ততোধিক অনুপাতকে এই আকারে প্রকাশ করা যায়। দুইটি অনুপাতকে ক : খ :গ আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথম অনুপাতটির উত্তর রাশি দ্বিতীয় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান হতে হয়।

এখানে, ক : খ $=7 : 10 = \frac{7}{10}=\frac{7 \times 6}{10 \times 6}= \frac{42}{60}= \frac{42}{60}$

$খ : গ =12 : 17=\frac{12}{17}=\frac{12\times 5}{17\times 5}=\frac{60}{85}=60 : 85$

$\therefore$ ক : খ : গ = 42 : 60 : 85

এখানে,

a : b = 5 : 7  $=\frac{5}{7}=\frac{5 \times 4}{7 \times 4}= 20 : 28$

$b : c=4 : 9=\frac{4}{9}=\frac{4 \times 7}{9 \times 7}=\frac{28}{63}= 28 : 63$

$\therefore$ $a : b : c=20 : 28 : 63$

রাতুলের টাকা: রাহাতের টাকা = 1500 : 700 = 15 : 7

রাহাতের টাকা: রোজোয়ানের টাকা = 700 : 400 = 7 : 4

∴ রাতুলের টাকা : রাহাতের টাকা রেজোয়ানের টাকা = 15 : 7 : 4

∴ রাহাত, রাতুল ও রেজোয়ানের টাকার অনুপাত = 15 : 7 : 4

মনে করি, অনুপাতের সাধারণ রাশি x

∴ ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে 5x, 6x এবং 7x

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

শর্তমতে, 5x + 6x + 7x = 180°

বা, 18x = 180°

বা, x = $\frac{180°}{18}$

$\therefore$ x = 10°

কোণ তিনটি হলো -

5x = 5 $\times$ 10°= 50°

6x = 6 $\times$ 10° = 60°

এবং 7x = 7 $\times$ 10° = 70°

$\therefore$ ত্রিভুজটির কোণ তিনটি যথাক্রমে 50°, 60° ও 70°.

মনে করি, অনুপাতের সাধারণ রাশি x

ত্রিভুজটির বাহুগুলো যথাক্রমে 3x, 5x ও 6x

শর্তমতে, 3x + 5x + 6x = 42

বা, 14x = 42

বা, $x = \frac{42}{14}= 3$

ত্রিভুজটির বাহুগুলো হলো 3x = 3 $\times$ 3 সে.মি. = 9 সে.মি.

                                         5x = 5 $\times$ 3 সে.মি. = 15 সে.মি.

                                 এবং 6x = 6 $\times$ 3 সে.মি. = 18 সে.মি.

নির্ণেয় ত্রিভুজটির বাহুগুলো যথাক্রমে 9 সে.মি., 15 সে.মি. ও 18 সে.মি.।