p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী, আবার আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস পায়।

দেওয়া আছে, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

ধরি, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$

এখন, $\frac{a}{b}=k$   |  আবার,  $\frac{c}{d}=k$

$\therefore$ a = bk                 $\therefore$  c = dk

বামপক্ষ = $\frac{a^2 + b^2}{a^2-b^2}$

= $\frac{{\left(bk\right)}^2+b^2}{{\left(bk\right)}^2+b^2}$

= $\frac{b^2{k}^2+b^2}{b^2{k}^2-b^2}$

= $\frac{b^2 (k^2+1)}{ b^2 (k^2-1)}$

= $\frac{(k^2+1)}{(k^2-1)}$

ডানপক্ষ = $\frac{ac + bd}{ac - bd}$

= $\frac{bk. dk + bd}{bk. dk - bd}$

= $\frac{k^2 bd+bd}{k^2 bd-bd}$

= $\frac{bd (k^2+1)}{bd (k^2-1)}$

= $\frac{(k^2+1)}{(k^2-1)}$

$\therefore$ $\frac{a^2 + b^2}{a^2-b^2}$ = $\frac{ac + bd}{ac - bd}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী

$\therefore$ $\frac{p}{q}=\frac{q}{r}$

বা, $q^2=pr$

বামপক্ষ $=p^8{q}^8{r}^8 \left(\frac{1}{p^{12}}+\frac{1}{q^{12}}+\frac{1}{r^{12}}\right)$

$=p^8{\left(q^2\right)}^4. r^8 \left(\frac{1}{p^{12}}+\frac{1}{q^{12}}+\frac{1}{r^{12}}\right)$

$=p^8{\left(pr\right)}^4. r^8 \left(\frac{1}{p^{12}}+\frac{1}{q^{12}}+\frac{1}{r^{12}}\right)$ [$q^2=pr$]

$=p^8{p}^4{r}^4. r^8 \left(\frac{1}{p^{12}}+\frac{1}{q^{12}}+\frac{1}{r^{12}}\right)$

$=p^{12}{r}^{12} \left(\frac{1}{p^{12}}+\frac{1}{q^{12}}+\frac{1}{r^{12}}\right)$

$=\frac{p^{12}{r}^{12}}{p^{12}}+\frac{p^{12}{r}^{12}}{q^{12}}+\frac{p^{12}{r}^{12}}{r^{12}}$

$=r^{12}+\frac{{\left(pr\right)}^{12}}{q^{12}}+p^{12}$

$=r^{12}+\frac{{\left(q^2\right)}^{12}}{q^{12}}+p^{12}$

$= p^{12}+q^{12}+r^{12}$

= ডানপক্ষ

$\therefore$ $p^8{q}^8{r}^8 \left(\frac{1}{p^{12}}+\frac{1}{q^{12}}+\frac{1}{r^{12}}\right)$ = $p^{12}+q^{12}+r^{12}$ (প্রমাণিত)

ধরি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মি.

এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = y মি.

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = xy বর্গ মি.

দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পাওয়ায় মোট দৈর্ঘ্য = (x + x এর $\frac{10}{100}$) মি.

$=\left(x+\frac{x}{10}\right)$ মি.

= $\left(\frac{10x+x}{10}\right)$ মি.

= $\frac{11x}{10}$ মি.

আবার,

প্রশ্ন 10% হ্রাস এর পর অবশিষ্ট প্রস্থ = (y - y এর $\frac{10}{100}$) মি.

                                                     $=\left(y-\frac{10}{100}\right)$ মি.

                                                      $=\left(y-\frac{y}{10}\right)$ মি.

                                                       =  $\frac{9y}{10}$মি.

হ্রাস বা বৃদ্ধি করার পর নতুন সৃষ্ট আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\left(\frac{11x}{10}\times \frac{9y}{10}\right)$ বর্গ মি.

                                                                                            = $\frac{99xy}{100}$ বর্গ মি.

$\therefore$ ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় = xy - $\frac{99xy}{100}$বর্গ মি.

                                    =$\frac{100xy - 99xy}{100}$ বর্গ মি.

                                   = $\frac{xy}{100}$ বর্গ মি.

ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পায় = $\left(\frac{xy}{100}\times \frac{1}{xy}\times 100\right)$ = 1

$\therefore$ ক্ষেত্রফল 1% হ্রাস পাবে।