সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

চলকের মান দ্বারা একাধিক সমীকরণ সিদ্ধ হলে সমীকরণ সমূহকে একত্রে সহসমীকরণ বলা হয় এবং চলক একঘাত বিশিষ্ট হলে উক্ত সহসমীকরণকে সরল সহসমীকরণ বলে।

x + y = 6 এবং x - y = 2 সমীকরণ দুটিতে চলক একঘাত বিশিষ্ট হওয়ায় এরা সরল সমীকরণ এবং x = 4 y = 2 দ্বারা উভয় সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়। সুতরাং সমীকরণ যুগল সরল সহসমীকরণ।

2x + 3y =7 _______(i)

y - x = - 1 বা, x =1+y _________(ii)

এখন, (i) হতে পাই, 2(1 + y) + 3y = 7

বা, 2 + 2y + 3y = 7

বা, 5y = 5

$\therefore$ y = 1

এখন, x = 1 + 1 = 2

$\therefore$ (x, y) = (2, 1) (Ans.)

3x + 5y = 16 ________ (i)

এবং x - 2 = 0 $\therefore$ x = 2 _______(ii)

এখন, (i) হতে, 3 $\times$ 2 + 5y = 16 বা 6 + 5y = 16 বা, 5y = 10   $\therefore$ y = 2

সুতরাং,  x - y = 2 - 2 = 0 (Ans.)

3x - y = 7 _____ (i)

x - y = 1 ______ (ii)

(i) - (ii) $\Rightarrow$ 3x - y - x + y = 7 - 1 বা, 2x = 6 $\therefore$ x = 3

এখন, (ii) নং হতে, 3 - y = 1 বা, y = 3 - 1 $\therefore$ y = 2 (Ans.)

2x + 3y = 6 _______ (i)

x + 3 = 0 বা, x = -3 _______ (ii)

এখন, (i) থেকে, 2(- 3) + 3y = 6

বা, - 6 + 3y = 6 বা, 3y = 12  $\therefore$ Y = 4

সুতরাং $\frac{x}{y}=- \frac{3}{4} ( Ans .)$

$\frac{x}{3}+ \frac{y}{2}= 2$ ________ (i)

$x - \frac{y}{2}= 2$ ________ (ii)

(i) + (ii) হতে পাই,

$\frac{x}{3}+ \frac{y}{2}+ x - \frac{y}{2}= 2 + 2$

বা, $\frac{x}{3}+ x = 4$

বা, $\frac{x + 3x}{3}= 4$

বা, 4x = 12

$\therefore$x = 3

এখন, (ii) নং হতে,

$3 - \frac{y}{2}= 2$

বা, $\frac{y}{2}= 1$

$\therefore$ y = 2

সুতরাং, (x, y) = (3, 2) (Ans.)

a - b = 2x   $\therefore$ a= 2x +b  _____ (i)

এবং $ax+by=x^2+y^2$ বা, $(2x+b) x+by=x^2+y^2$ [i নং হতে]

বা, $2x^2+bx+by=x^2+y^2$

বা, $b(x+y)=y^2-x^2$

বা, b(x + y) = (y + x)(y - x)

b = y - x (Ans.)

প্রদত্ত সমীকরণ, $\frac{x}{2}+ \frac{y}{4}= 4$

বা,  $\frac{2x + y}{4}= 4$

বা, 2x + y = 16  

বা, 2x = 16 - y

$\therefore$ $x =\frac{16 - y}{2}$

$\therefore$ x এর মান y এর মাধ্যমে প্রকাশিত আকার :  $x =\frac{16 - y}{2}$(Ans.)

$\frac{x}{6}+ \frac{y}{4}= 1$ সমীকরণে $x =\sqrt[3]{64}= 4$ বসিয়ে $\frac{4}{6}+ \frac{y}{4}= 1$

বা $\frac{2}{3}+ \frac{y}{4}= 1$ বা, $\frac{y}{4}= 1 - \frac{2}{3}$ বা, $\frac{y}{4}=\frac{1}{3}$  $\therefore y=\frac{4}{3}$ $\therefore (x,y)=\left(4,\frac{4}{3}\right)$ (Ans.)

সমীকরণ জোটে, a = - 1, b = 2 বসিয়ে পাই,

- x + y = 2 + 1 =3 ________(i)

x + 2y =3 _______ (ii)

( i) + (ii) $\Rightarrow$ - x + y + x + 2y = 3 + 3 বা, 3y = 6 $\therefore y = 2$

এখন, (i) নং এ y = 2 বসিয়ে,

- x + 2 = 3 বা, - x = 1 $\therefore x = - 1$

$\therefore$ (x, y) = (- 1, 2) (Ans.)

2x +3y =15 _____(i)

এবং x - y = 0 $\therefore$ x = y _________ (ii)

এখন, (i) হতে, 2x + 3x = 15 $[ \because x = y ]$

বা, 5x = 15 $\therefore x = 3$

(ii) হতে, y = 3;  সুতরাং, (x, y) = (3, 3) (Ans.)

$\frac{x}{3}+ \frac{y}{3}= 2$ বা, $\frac{x + y}{3}= 2$

বা, x + y = 6 $\therefore$ x = 6 - y ______ (i)

এবং x - y = 4 বা, 6 - y - y = 4 [(i) হতে]

বা, 6 - 2y = 4 বা, 2y = 2 $\therefore$ y = 1

(i) হতে পাই, x = 6 - 1 = 5

$\therefore$ সমীকরণ জোটের ভুজ x = 5 (Ans.)

$\frac{2}{5}x + y =0$ ______ (i)

এবং $\frac{1}{5}x + 2y = 6$ বা, $\frac{1}{5}x = 6 - 2y$

বা, x = 5(6 - 2y) $\therefore$ x = 30 - 10y _______ (ii)

(i) নং এ x এর মান বসিয়ে,

$\frac{2}{5} (30 - 10y) + y = 0$

বা $\frac{60 - 20y + 5y}{5}= 0$

বা, 60 - 15y = 0 বা, 15y = 60 $\therefore$ Y = 4

সুতরাং, সমীকরণ জোটের কোটি y = 4 (Ans.)

(x, y) = (3, 1)

00

$\frac{25}{11}$

1

(4,3)

$x = \frac{30-3y}{5}$

$\frac{25}{3}$

(4, 4)

6

00

ধরি, বড় সংখ্যাটি = x এবং ছোট সংখ্যাটি = y

শর্তমতে, x+y = 90 _______ (i)

এবং x - y = 40 _____ (ii)

(i)+(ii) $\Rightarrow$ 2x = 90 + 40

বা, 2x = 130

বা, $x = \frac{130}{2}$

$\therefore$ x = 65

সুতরাং বড় সংখ্যাটি 65 (Ans.)

ধরি, একটি সংখা x এবং ছোট অপর সংখ্যা y

শর্তমতে, 2x + 5 = 31

বা, 2x = 26

$\therefore$ x = 13

আবার, x + y = 21

বা, 13 + y = 21

বা, y = 21 - 13

$\therefore$ y = 8

সুতরাং অপর সংখ্যাটি ৪ (Ans.)

ধরি, ১ম সংখ্যাটি x এবং ২য় সংখ্যাটি y

শর্তমতে, y = 3x

আবার, x + y = 68

বা, x + 3x = 68

বা, 4x = 68

$\therefore$ x = 17

এখন, y = 3x = 3 $\times$ 17 = 51

সুতরাং ২য় সংখ্যাটি 51 (Ans.)

ধরি, ভগ্নাংশের লব x এবং হর y [y > x]

$\therefore$ ভগ্নাংশটি $= \frac{x}{y}$

শর্তমতে, y + x = 17  _____ (i)

এবং y - x = 9 _____ (ii)

(i) + (ii) হতে, 2y = 26

$\therefore$ y = 13

(i) নং এ y = 13 বসিয়ে পাই, 13 + x = 17

$\therefore$ x = 4

সুতরাং ভগ্নাংশটি $= \frac{4}{13}$(Ans.)

ধরি, ভগ্নাংশটি $= \frac{x}{y}$

১ম শর্তে $\frac{x + 6}{y}= 2$

$y =\frac{x + 6}{2}$ ______ (i)

২য় শর্তে $\frac{x}{y - 1}= 1$

বা, x = y - 1 বা, y = x + 1

বা, $\frac{x + 6}{2}= x + 1$

বা, x + 6 = 2x + 2

$\therefore$ x = 6 - 2 = 4

(i) নং হতে পাই, $y =\frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2}= 5$

$\therefore$ ভগ্নাংশটি $= \frac{4}{5}$ (Ans.)

ধরি, বড় সংখ্যাটি a এবং ছোট সংখ্যাটি b

শর্তমতে, a + b = 21 এবং ab = 98

এখন, $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$

$=(21{)}^2-4\times 98=441-392=49$

$\therefore$ a - b = 7 (Ans.)

ধরি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y

শর্তমতে $(x-y{)}^2=81$ এবং xy = 112

এখন, $(x+y{)}^2=(x-y{)}^2+4xy$

= 81 + 4 $\times$ 112

= 81 +448 = 529

$\therefore$ x + y = 23 (Ans.)

ধরি, বাগানের দৈর্ঘ্য' মিটার এবং প্রস্থ y মিটার শর্তমতে, x = y + 5  _______ (i)

এবং 2(x + y) = 50

বা, x + y = 25

বা, y + 5 + y = 25

বা, 2y + 5 = 25

বা, 2y = 20

$\therefore$ y = 10

এখন, x = y + 5 = 10 + 5 = 15 মিটার (Ans.)

দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার

শর্তমতে, x - 3 = 3y

$\therefore$ x = 3y + 3 _____ (i)

আবার, 2(x + y) = 70

বা, x + y = 35

বা, 3y + 3 + y = 35 [(i) নং হতে]

বা, 4y = 35 - 3 বা, 4y = 32

$\therefore$ y = 8 মিটার (Ans.)

চিত্রে, ABC ত্রিভুজের উচ্চতা = আয়তের প্রস্থ = (x - y) মিটার শর্তমতে, x - y = 8

$\therefore$ x = y + 8 ______ (i)

আবার, 2(2x + y + x - y) = 72

বা, 2 $\times$ 3x = 72 বা, 6x = 72

$\therefore$ x = 12

(i) নং হতে পাই, 12 = y + 8

$\therefore$ y = 12 - 8 = 4

আয়তটির দৈর্ঘ্য = 2x + y = 2 $\times$ 12 + 4 = 24 + 4 = 28 মিটার (Ans.)

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার প্রশ্নমতে, y = x - 8 _____ (i)

আবার, xy = 105

বা, x(x - 8) = 105

বা, $x^2-8x-105=0$

বা $x^2-15x+7x-105=0$

বা, (x - 15) + 7(x - 15) = 0

বা, (x - 15)(x + 7) = 0

$\therefore$ x = 15  [ঋণাত্মক সংখ্যা গ্রহণযোগ্য নয়]

$\therefore$ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 15 মিটার (Ans.)

ধরি, পিতার বর্তমান বয়স x বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স y বছর শর্তমতে, x = 3y

আবার, (x + 6) + (y + 6) = 60

বা, 3y + 6 + y + 6 = 60

বা, 4y = 60 - 12 বা, 4y = 48

$\therefore$ y = 12

$\therefore$ পিতার বর্তমান বয়স, x = 3y = 3 $\times$ 12 = 36 বছর (Ans.)

ধরি, মাতার বর্তমান বয়স x বছর এবং দুই কন্যার বর্তমান বয়সের সমষ্টি y বছর

শর্তমতে, x = 4y

আবার, (x + 4) = 2(y + 4 + 4)

বা, 4y + 4 = 2y + 16

বা, 2y = 12

$\therefore$ y = 6

$\therefore$ মাতার বর্তমান বয়স, x = 4y = 4 $\times$ 6 = 24 বছর (Ans.)

ধরি, প্রতিটি খাতার মূল্য x টাকা এবং প্রতিটি পেন্সিলের মূল্য y টাকা

$\therefore$ ১ম বালকের ব্যয়, 6x + 10y = 300 ____ (i)

২য় বালকের ব্যয়, 7y = 84

$\therefore$ y = 12 ____ (ii)

(i) নং এ y = 12 বসিয়ে পাই,

6x + 10 $\times$ 12 = 300

বা, 6x + 120 = 300 বা, 6x = 180

$\therefore$ x = 30 টাকা

$\therefore$ প্রতিটি খাতার মূল্য 30 টাকা ও পেনসিলের মূল্য 12 টাকা। (Ans.)

ধরি, ১ম জনের টাকার পরিমাণ x টাকা এবং ২য়' জনের টাকার পরিমাণ y টাকা

১ম শর্তে, x + y = 6000 _____ (i)

২য় শর্তে, x = 3y ______ (ii)

(i) হতে পাই, 3y + y = 6000

বা, 4y = 6000

$\therefore$ y = 1500 টাকা

$\therefore$ x = 3y = 3 $\times$ 1500 = 4500 টাকা।

$\therefore$ ১ম জনের টাকার পরিমাণ 4500 টাকা। (Ans.)

ধরি, পিতার বর্তমান বয়স x বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স y বছর শর্তমতে, x = 2y + 7 _______ (i)

আবার, x + y = 70

বা, 2y + 7 + y = 70 [(i) হতে]

বা, 3y + 7 = 70 বা, 3y = 63

$\therefore$ y = 21

$\therefore$ পিতার বর্তমান বয়স, x = 2 $\times$ 21 + 7 = 42 + 7 = 49 বছর (Ans.)

লেখচিত্র হতে, P বিন্দুর কোটি = 8

$\therefore$ h = 8

$\therefore$ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4,8)

আবার, লেখচিত্রে, A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে পাই A বিন্দুর ভুজ 4 এবং কোটি 6।

$\therefore$ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4,6)

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (4, 6) (Ans.)

প্রদত্ত সমীকরণ, 4x + 3y = 14

বা, 3y = 14-4x

y = $\frac{14-4x}{3}$ ______ (i)

এখন (i) নং হতে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর বিভিন্ন মান নির্ণয় করি :

সুতরাং, সমীকরণটির লেখচিত্রের উপর অবস্থিত 4টি বিন্দু (2, 2), (5,2), (8,6) এবং (-1, 6) (Ans.)

প্রদত্ত সমীকরণ, 5x + 4y = 23

বা, 4y = 23 - 5x

$y =\frac{23 - 5x}{4}$ ______ (i)

এখন, (i) নং হতে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর বিভিন্ন মান নির্ণয় করি :

সুতরাং, সমীকরণটির লেখচিত্রের উপর অবস্থিত 4টি বিন্দু (3, 2), (7, - 3) ,(11,-8),(-1,7) (Ans.)

ধরি, সংখ্যা দুটি x ও y

$\therefore$ প্রদত্ত শর্তের সাপেক্ষে প্রাপ্ত সমীকরণ, y = 2x - 5 ______ (i)

(i) নং হতে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর বিভিন্ন মান নির্ণয় করি :

$\therefore$ লেখচিত্রে প্রদর্শনের জন্য বিন্দুত্রয় (-1, -7), (0, -5) ও (1, -3)

40

7

76

$\frac{5}{11}$

5

14 মিটার

7 মিটার

16 মিটার

32 বছর

6125 টাকা