সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান।

বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটি x হলে ক্ষুদ্রতর সূক্ষ্মকোণ = x - 15°

শর্তমতে, x + x - 15°= 90° বা, 2x - 15° = 90°

বা, 2x = 105° বা, x = $\frac{105°}{2}=52.5°$

ক্ষুদ্রতর কোণ, x - 15° = 52.5° - 15° =37.5° (Ans.)

আমরা জানি, মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান দুটি অংশে বিভক্ত করে।

$\therefore$ ∆ABD এর ক্ষেত্রফল= ∆ADC এর ক্ষেত্রফল

= $\frac{1}{2}$ × BD × AE = $\frac{1}{2}$ × 2BE × AE = $\frac{1}{2}$ ×  2 × 3 × 4 বর্গ সে.মি.

= 12 বর্গ সে.মি. (Ans.)

ABC সমবাহু ত্রিভুজ হওয়ায় AB = BC = AC = 6 সে.মি. সমবাহু ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষ হতে তার বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ রাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$ 6 = 3 সে.মি

এখন, ABD সমকোণী ত্রিভুজে, AB² = AD² + BD²

বা, AD² =AB² - BD² =  6²-3² = 36 - 9 = 27

AD = $\sqrt{27}$ = $3\sqrt{3}$ সে.মি. (Ans.)

সমাধান: ∆ABC এ, AC² = AB² + BC²

AB² = AC² - BC² = (10)² - (6)² = 100 - 36 = 64

$\therefore$  AB = 8 সে.মি.

এখন, পরিসীমা = AB + BC + AC = (8 + 6 + 10) সে.মি. = 24 সে.মি. (Ans.)

∆ABC এ, AC² = AB² + BC²

বা, AB² = AC² - BC²

বা, AB = $\sqrt{AC²-BC²}$ = $\sqrt{\left(13\right)²-\left(5\right)²}$ = $\sqrt{169-25}$

= $\sqrt{144}$ = 12 সে.মি.

এখন, ∆ABC এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$× BC × AB

= $\frac{1}{2}$ × 5 × 12 = 30 বর্গ সে.মি. (Ans.)

সমাধান: △ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হলে AB = BC

এখন, ∆ABC এ, AC² = AB² + BC²

বা, AB² + AB² = AC²

বা, 2AB² = ($5\sqrt{2}$)²

বা, 2AB² = 50

বা, AB² = 25

$\therefore$ AB=5 সে.মি. (Ans.)

সমাধান: ∆ABC এ, AC² = AB² + BC²

BC² = AC² - AB²

BC = $\sqrt{AC²-AB²}$

= $\sqrt{17²-8²}$

= $\sqrt{289-64}$ = $\sqrt{225}$

$\therefore$ BC = 15 সে.মি.

এখন, AC+BC=17+15=32 সে.মি. (Ans.)

∆ABC এ,

AC² = AB² + BC²

বা, AC = $\sqrt{AB²+BC²}$ = $\sqrt{6²+\left(\sqrt{45}\right)²}$ = $\sqrt{36+45}$ = $\sqrt{81}$

$\therefore$ AC = 9 সে.মি.

বা, AD+CD = 9

বা, CD = 9 - AD = 9 - 4 = 5 সে.মি. (Ans.)

ABCD একটি বর্গক্ষেত্র হওয়ায় AB = BC - CD = AD এবং ক্ষেত্রফল AB²

এখন, ∆ABD এ, BD² = AB² + AD²

AB² + AB² = BD²

বা 2AB² = $\left(2\sqrt{3}\right)²$

বা, 2AB² = 12

$\therefore$ AB² = 6 বর্গ একক (Ans.)

চিত্রে, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।

চিত্রে, ∆BDC এ, BD² = BC² +CD² বা, BC²= BD² - CD²

BC = $\sqrt{BD²-CD²}$ = $\sqrt{5²-3²}$ = $\sqrt{25-9}$ = $\sqrt{16}$ = 4

$\therefore$ BC = 4 একক

এখন, আয়ত ABCD এর পরিসীমা = 2(BC + CD) একক

= 2(4+3) = 14 একক (Ans.)

∆CDE হতে, CE² = CD² + DE²

বা, CD² = CE² - DE²

বা, CD = $\sqrt{CE²-DE²}$ = $\sqrt{13²-5²}$ = $\sqrt{169-25}$ = $\sqrt{144}$ = 12 সে.মি.

এখন, ∆BCE এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$× BC × CD

=$\frac{1}{2}$× 10 × 12 = 60 বর্গ সে.মি. (Ans.)

BC = 12 সে.মি

$\therefore$ CN = $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ × 12 = 6 সে.মি.

এখন, ∆CMN এর ক্ষেত্রফল, $\frac{1}{2}$× CN × MN = 9

$\frac{1}{2}$ × 6 × MN = 9

MN = 3 সে.মি.

∆CMN -এ CM² = CN² + MN²

বা, AM² = 62+32 [$\therefore$AM=CM]

$\therefore$ AM = $\sqrt{45}$ = $3\sqrt{5}$ সে.মি. (Ans.)

চিত্রে, AD = BE

$\therefore$ EC = BC - BE = BC - AD = 19 - 14 = 5 সে.মি.

∆DEC এ DC² = DE² + EC² = 12² + 5² = 169

$\therefore$ DC = $\sqrt{169}$ = 13 সে.মি.

ABCD এর পরিসীমা = BC + AD + AB + DC

= ( 19 + 14 + 12 + 13 ) CEMI = 58 সে.মি.

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।

ΔΑΟΒ এ, AO2 + OB2 = AB2

বা, AO2 = AB2 - OB2

বা, AO = $\sqrt{AB²-OB²}$ = $\sqrt{\left(6\right)²-\left(\frac{BD}{2}\right)²}$ = $\sqrt{36-\left(\frac{2\sqrt{11}}{2}\right)²}$

= $\sqrt{36-11}$

$\therefore$ AO = $\sqrt{25}$ = 5 সে.মি.

$\therefore$ AC = 2AO = 2×5 = 10 সে.মি. (Ans.)

∆ABC-এ AB² + AC² = 8² + 8² = 2 × 8² = $\left(8\sqrt{2}\right)²$ = BC²

$\therefore$ ∆ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার BC অতিভুজ এবং ∠BAC = 90°

এখন, ∆ABC-এ AB = AC হওয়ায় ∠ABC = ∠ACB

আবার, ∆ABC-এ ∠ABC+∠BAC + ∠ACB = 180°

বা, 2∠ABC + 90° = 180°

বা, ∠ABC = $\frac{180°-90°}{2}$

∠ABC = 45° (Ans.)

সমকোণী ∆BDC-এ BC² + CD² = 24² + 7² = 625 = (25)² = BD²

$\therefore$ ∆BDC-একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার BD অতিভুজ।

সুতরাং, ∠BCD = 90°

ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং একটি কোণ এক সমকোণ হওয়ায় চতুর্ভুজটি একটি আয়ত। (Ans.)