সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

Logos এবং arithmas নামক দুইটি গ্রিক শব্দ থেকে Logarithm শব্দটির উৎপত্তি। Logos অর্থ আলোচনা এবং arithmas অর্থ সংখ্যা। সুতরাং লগারিদম (Logarithm) শব্দটির অর্থ সংখ্যা নিয়ে আলোচনা।

যদি $a^x=b$হয়, যেখানে a > 0 এবং a ≠ 1 তবে x কে b এর a ভিত্তিক লগারিদম বলা হয় যেখানে $x={\log }_{x}b$

অতএব, যদি $a^x=b$হয়, তবে $x={\log }_{a}b$

যদি $x={\log }_{a}b$হয় তবে $a^x=b$যেখানে $a>0$ এবং $a\ne 1$ এখানে b সংখ্যাটিকে a এর সাপেক্ষে x এর প্রতিলগ বলা হয় এবং এটিকে লেখা হয় $b=anti{\log }_{a}x$

16 এর 2 ভিত্তিক $\log ={\log }_{1}16={\log }_2{2}^4=4{\log }_{2}2=4.1=4$

25 এর $\sqrt{5}$ ভিত্তিক log= ${\log }_{\sqrt{5}}25={\log }_{\sqrt{5}}{5}^2$

$={\log }_{\sqrt{5}}{\left\{{\left(\sqrt{5}\right)}^2\right\}}^2={\log }_{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}^4$

$=4{\log }_{\sqrt{5}}\sqrt{5}=4.1=4$

log এর দুইটি বৈশিষ্ট্য হলো:

(i) যদি $x>0$,  $y>0$ এবং $a\ne 1$তবে$x=y$ হবে যদি এবং কেবল যদি ${\log }_{a}x={\log }_{a}y$ হয়.

(ii) যদি $a>1$এবং $x>1$ হয় তবে ${\log }_{a}x>0$

বামপক্ষ= ${\log }_{5}25+{\log }_{25}5$

$={\log }_5{5}^2+{\log }_{25}\sqrt{25}=2{\log }_{5}5+{\log }_{25}{\left(25\right)}^{\frac{1}{2}}$

$=2.1+\frac{1}{2}.{\log }_{25}25 [\because lo{g}_{a}a=1]$

$=2.1+\frac{1}{2}.1=\frac{5}{2}$

= ডানপক্ষ

$\therefore {\log }_{2}25+{\log }_{25}5=\frac{5}{2}$ (প্রমাণিত)

প্রদত্ত রাশি = ${\log }_{\sqrt{2}} 4 \times {\log }_{\sqrt{3}} 3$

$= {\log }_{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{ 2}\right)}^4 \times {\log }_{\sqrt{3}} {\left(\sqrt{3}\right)}^2$

$$\begin{gathered} =4 {\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{ 2} \times 2 {\log }_{\sqrt{3}} \sqrt{3} \\ =4.1\times 2.1 \\ =4\times 2 \\ =8 \end{gathered}$$

নির্ণেয় মান: $8$

প্রদত্ত রাশি $={\log }_{\sqrt{3}}5\times {\log }_{25}3$

$={\log }_{\sqrt{3}}{\left(25\right)}^{\frac{1}{2}}\times {\log }_{25}3$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{2}{\log }_{\sqrt{3}}25\times {\log }_{25}3 \\ =\frac{1}{2}{\log }_{\sqrt{3}} 3 \\ =\frac{1}{2}{\log }_{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)}^2 \\ =\frac{1}{2}.2 {\log }_{3}3 \\ =1\times 1 \\ =1 \end{gathered}$$

নির্ণেয় মান: 1.

${\log }_{\sqrt{2}} 3 \times {\log }_{\sqrt{3}} 5\times {\log }_{\sqrt{5}} 2$

$={\log }_{\sqrt{2}} {\left(\sqrt{3} \right)}^2\times {\log }_{\sqrt{3}} 5\times {\log }_{\sqrt{5}} 2$

$=2 {\log }_{\sqrt{2}} \sqrt{3} \times {\log }_{\sqrt{3}} \sqrt{5}\times 2 {\log }_{\sqrt{5}} \sqrt{2}$

$=8 {\log }_{\sqrt{2}} \sqrt{3} \times {\log }_{\sqrt{3}} \sqrt{5}\times {\log }_{\sqrt{5}} \sqrt{2}$

$=8\times 1$$[ \because {\log }_{a}b\times {\log }_{b}c\times {\log }_{c}a=1]$

$=8$

নির্ণেয় মান: $8$

বামপক্ষ = ${\log }_{\sqrt{a}} b\times {\log }_{\sqrt{b}}c\times {\log }_{\sqrt{c}}a$

$={\log }_{\sqrt{a}} {\left(\sqrt{b}\right)}^2\times {\log }_{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{c}\right)}^2\times {\log }_{\sqrt{c}}{\left(\sqrt{a}\right)}^2$

$=2.{\log }_{\sqrt{a}} \sqrt{b}\times 2. {\log }_{\sqrt{b}}\sqrt{c}\times {\log }_{\sqrt{c}}\sqrt{a}$

$$\begin{gathered} =8\times {\log }_{\sqrt{a}} \sqrt{c}\times 2. {\log }_{\sqrt{c}}\sqrt{a} \\ =8.1 \\ =8 \end{gathered}$$

=ডানপক্ষ

$\therefore$ ${\log }_{\sqrt{a}} b\times {\log }_{\sqrt{b}}c\times {\log }_{\sqrt{c}}a=8$ (দেখানো হলো)

$$\begin{gathered} {\log }_2 5 \times {\log }_{2}7\times {\log }_{2}3 \\ ={\log }_2 (5.7.3) \\ ={\log }_{2}105 \end{gathered}$$

দেওয়া আছে,  ${\log }_{\sqrt{8}} x=\frac{2}{3}$

বা, $x={\left(\sqrt{8}\right)}^{\frac{2}{3}} ={\left({\sqrt{2}}^3\right)}^{\frac{2}{3}}=2^1=2$

$\therefore$ $x=2$

নির্ণেয় মান: x = 2

${\log }_{\sqrt{8}}x=3^{\frac{1}{3}}$

বা, ${\log }_{\sqrt{8}}x=\frac{10}{3}$

বা, $x={\sqrt{8}}^{\frac{10}{3}}$$={\left(\sqrt{2^3}\right)}^{\frac{10}{3}}=2^{\frac{3}{2}.\frac{10}{3}}=2^5=32$

$\therefore$ $x=32$

নির্ণেয় মান: 32.

${\log }_2\left(\frac{1}{\sqrt[3]{8}}\right)$

$= {\log }_2\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2^3}}\right)={\log }_2\left\{\frac{1}{{\left(2^3\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}\right\}={\log }_2\left(\frac{1}{2}\right)={\log }_2{2}^{-1}$

$=(-1){\log }_{2}2=(-1).1=-1$

নির্ণেয় মান:- 1.

বামপক্ষ $={\log }_{a}p\times {\log }_{p}q\times {\log }_{q}r\times {\log }_{r}b$

$=\left({\log }_{a}p\times {\log }_{p}q\right)\times \left({\log }_{q}r\times {\log }_{r}b\right)$

$={\log }_{a}q\times {\log }_{q}b$

$={\log }_{a}b$

= ডানপক্ষ

$\therefore {\log }_{a}p\times {\log }_{p}q\times {\log }_{q}r\times {\log }_{r}b={\log }_{a}b$ (দেখানো হলো)

বামপক্ষ = ${\log }_{\sqrt{a}}b\sqrt{b}\times {\log }_{\sqrt{b}}c\sqrt{c}\times {\log }_{\sqrt{c}} a\sqrt{a}$

$={\log }_{\sqrt{a}} {\left(\sqrt{b}\right)}^3\times {\log }_{\sqrt{b}} {\left(\sqrt{c}\right)}^3\times {\log }_{\sqrt{c}} {\left(\sqrt{a}\right)}^3$

$=3{\log }_{\sqrt{a}} \sqrt{b}\times 3 {\log }_{\sqrt{b}} \sqrt{c}\times 3 {\log }_{\sqrt{c}}\sqrt{a}$

$=27 {\log }_{\sqrt{a}} \sqrt{b}\times {\log }_{\sqrt{b}} \sqrt{c}\times {\log }_{\sqrt{c}}\sqrt{a}$

$=27 {\log }_{\sqrt{a}} \sqrt{a}$

$=27\times 1$

$=27$

= ডানপক্ষ

$\therefore$ ${\log }_{\sqrt{a}}b\sqrt{b}\times {\log }_{\sqrt{b}}c\sqrt{c}\times {\log }_{\sqrt{c}} a\sqrt{a}=27$ (দেখানো হলো)

ধরি, $p={\log }_{a}y$ এবং $q={\log }_{a}x$

সুতরাং, $a^p=y$ এবং $a^q=x$

এখানে, ${\left(a^p\right)}^q=y^q$

$\therefore$$y^q=a^{pq}$

এবং ${\left(a^q\right)}^p=x^p$

$\therefore$$x^p=a^{pq}$

সুতরাং, $x^p=y^q$

$\therefore x^{{\log }_{a}y}=y^{{\log }_{a}x}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,  ${\log }_{\sqrt{27}}m=2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$

বা, $m={\left(\sqrt{27}\right)}^{\frac{8}{3}}$$={\left\{{\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}}^{\frac{8}{3}}=3^{\frac{3}{2}\times \frac{8}{3}}=3^4=81$

নির্ণেয় মান 81

প্রদত্ত রাশি $={\log }_{k }\left(\frac{x^m}{y^m}\right)+{\log }_{k }\left(\frac{y^m}{z^m}\right)+{\log }_{k }\left(\frac{z^m}{x^m}\right)$

$={\log }_{k }{x}^m-{\log }_{k }{y}^m+{\log }_{k }{y}^m-{\log }_{k }{z}^m+{\log }_{k }{z}^m-{\log }_{k }{x}^m=0$

নির্ণেয় মান: 0

দেওয়া আছে, ${\log }_{\sqrt{27}}m=3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$

বা, $m={\left(\sqrt{27}\right)}^{\frac{10}{3}}$$={\left(\sqrt{3^3}\right)}^{\frac{10}{3}}={\left(3\frac{3}{2}\right)}^{\frac{10}{3}}=3^5=243$

নির্ণেয় মান: $243$

প্রদত্ত রাশি= ${\log }_{\sqrt{2}}16\sqrt{2}$

$={\log }_{\sqrt{2}}{2}^4\sqrt{2}$

$={\log }_{\sqrt{2}}{\left\{{\left(\sqrt{2}\right)}^2\right\}}^4.\sqrt{2}$

$={\log }_{\sqrt{2}} {\sqrt{2}}^{ 8+1}$

$={\log }_{\sqrt{2}} {\left(\sqrt{2}\right)}^{ 9}$

$=9 {\log }_{\sqrt{2}} \sqrt{2}$

$=9 .1$

$=9$

নির্ণেয় মান: $9$

দেওয়া আছে,  ${\log }_{\sqrt{32}}x=\frac{6}{5}$

বা, $x={\left(\sqrt{32}\right)}^{\frac{6}{5}}$$={\left\{{\left(2^5\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}}^{\frac{6}{5}}={\left(2^5\right)}^{\frac{3}{5}}=2^3=8$

$\therefore$ $x=8$

নির্ণেয় মান: $8$

দেওয়া আছে, ${\log }_3 [80+\sqrt{x^2-7x+13}x]=4$

বা, $80+\sqrt{x^2-7x+13}=3^4$

বা, $\sqrt{x^2-7x+13}=81-80$

বা, $\sqrt{x^2-7x+13}=1$

বা, $x^2-7x+13=1$   [বর্গ করে]

বা, $x^2-7x+12=0$

বা, $x^2-3x-4x+12=0$

বা, $x\left(x-3\right)-4\left(x-3\right)=0$

বা, $\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0$

হয়, $x-3=0$

বা, $x=3$

অথবা, $x-4=0$

বা, $x=4$

নির্ণেয় মান: x = 3, 4

এখানে, ${\log }_{10}(100+\sqrt{x^2-6x+5})=2$

বা, $100+\sqrt{x^2-6x+5})={10}^2$

বা, $100+\sqrt{x^2-6x+5})=100$

বা, $\sqrt{x^2-6x+5})=100-100$

বা, $\sqrt{x^2-6x+5})=0$

বা, $x^2-6x+5=0$   [বর্গ করে]

বা, $x^2-5x-x+5=0$

বা, $x \left(x-5\right)-1 \left(x-5\right)=0$

বা, $\left(x-5\right) \left(x-1\right)=0$

হয়, $x-5=0$

বা, $x=5$

অথবা,  $x-1=0$

বা, $x=1$

নির্ণেয় মান: x = 1, 5

দেওয়া আছে, ${\log }_{\sqrt{x}}\sqrt{x^2-2x+4})=3$

বা, ${\left(\sqrt{x}\right)}^3=\sqrt{x^2-2x+4}$

বা, $x \sqrt{x}=\sqrt{x^2-2x+4}$

বা, $x^3=x^3-2x+4$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,

বা, $2x=4$

$\therefore x=2$

নির্ণেয় মান: x = 2

দেওয়া আছে, ${\log }_{\sqrt{27}}y=1\frac{1}{3}$

বা, $y={\left(\sqrt{27}\right)}^{1\frac{1}{3}}$ = ${\left({\sqrt{3}}^3\right)}^{\frac{4}{3}}={\left\{{\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}}^{\frac{4}{3}}={\left(3^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{4}{3}}=3^{\frac{3}{2}\times \frac{4}{3}}=3^2=9$

নির্ণেয় মান: 9

বামপক্ষ$= {\log }_{k }\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}$

$= {\log }_{k }\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}$

[লব ও হরকে $x-\sqrt{x^2-1}$দ্বারা গুণ করে]

$= {\log }_{k }\frac{{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}^2}{{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}^2}= {\log }_{k }\frac{{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}^2}{x^2-\left(x^2-1\right)}$

$= {\log }_{k }\frac{{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}^2}{x-\sqrt{x^2+1}}= {\log }_{k }\frac{{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}^2}{1}$

$= {\log }_{k }{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}^2=2 {\log }_{k }\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)$

=ডানপক্ষ

$\therefore$ ${\log }_{k }\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=2{\log }_k\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)$ (দেখানো হলো)

যদি $a>0$ এবং $a\ne 1$ হয়, তবে $f \left(x\right)= a^x$ আকারের ফাংশনকে সূচকীয় ফাংশন বলে।

যেমন: $y=2^x, y=c^x, y=x^x$ ইত্যাদি সূচকীয় ফাংশন।

আমরা জানি, $f\left(x\right)=a^x$ আকারের সূচকীয় ফাংশনের ডোমেন $=\left(-\infty ,\infty \right)$

$\therefore f\left(x\right)=3^x$ সূচকীয় ফাংশনের ডোমেন $=\left(-\infty ,\infty \right)$

নির্ণেয় ডোমেন $=\left(-\infty ,\infty \right)$

$f\left(x\right)=5^x$

ধরি, $y=f\left(x\right)=5^x$

বা, $\ln y=\ln 5^x=x\ln 5$

বা, $x\frac{\ln y}{\ln 5}$

একমাত্র $y=0$ এবং y এর ঋণাত্মক মান ব্যতীত বাকি সকল মানের জন্য $x\frac{\ln y}{\ln 5}$ সংজ্ঞায়িত।

$\therefore$ ফাংশনটির রেঞ্জ = $\left(0, \infty \right)$

$y=5^{-x}$একটি সূচকীয় ফাংশন এবং x এর সকল বাস্তব মানের জন্য y এর মান ধনাত্মক। তাই এর রেঞ্জ $=\left(0,\infty \right)$

নির্ণেয় রেঞ্জ $=\left(0,\infty \right)$

ধরি, $y=f\left(x\right)=2^x$

$y=f\left(x\right)$  বা, $x=f^{-1}\left(y\right)$

আবার, $y=2^x$

বা, ${\log }_{2}y=x$

বা, $f^{-1}y={\log }_{2}y$

$\therefore$ $f^{-1}\left(x\right)={\log }_{2}x$

নির্ণেয় বিপরীত ফাংশন: ${\log }_{2}x$

দেওয়া আছে, $y=1-6^{-x}$

ধরি, $y=f\left(x\right)=1-6^{-x}$

এখন, $y=1-6^{-x}$

বা, $6^{-x}=1-y$

বা, $-x={\log }_6 \left(1-y\right)$

বা, $x=-{\log }_6 \left(1-y\right)$

বা, $f^{-1}\left(y\right)=-{\log }_6 \left(1-y\right)$

বা,$f^{-1}\left(x\right)=-{\log }_6 \left(1-x\right)={\log }_6 {\left(1-x\right)}^{-1}={\log }_6 \left(\frac{1}{1-x}\right)$

নির্ণেয় বিপরীত ফাংশন  ${\log }_6 \left(\frac{1}{1-x}\right)$

যদি $a > 0$ এবং $a \ne 1$ হয় তবে $f\left(x\right) = {\log }_{a}x$ কে লগারিদমীয় ফাংশন বলে। যেমন: $f\left(x\right)=lo{g}_{3}x,lo{g}_{c}x,lo{g}_{10 }x$ ইত্যাদি লগারিদমীয় ফাংশন।

সূচকীয় ফাংশনের দুইটি বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ :

(i) সূচকীয় ফাংশন সকল বাস্তব সংখ্যার জন্যই সংজ্ঞায়িত।

(ii) সকল সূচকীয় ফাংশন এক এক ফাংশন।

লগারিদমীয় ফাংশনের দুইটি বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ :

(i) লগারিদমীয় ফাংশন শুধু ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত।

(ii) লগারিদমীয় ফাংশনের রেঞ্জ সকল বাস্তব সংখ্যা অর্থাৎ (-$\infty$,$\infty$)।

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)= \ln (2-x)$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব মানের জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

সুতরাং, $2 - x>0$ বা, $2 > x$

$\therefore$ $x < 2$

$\therefore$ ডোমেন $D_f=\{x\in \mathrm{ℝ} : x<2\}=(-\infty ,2)$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \ln (x-2)$

যেহেতু লগারিদম শুধু ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত।

$\therefore$ $x - 2> 0$

বা, $x >2$

$\therefore$ ডোমেন $D_f=(2,\infty )$

যদি, $x\in \mathrm{ℝ}$ হয়, তবে $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$$=\{x;$ $x\ge 0$ $-x;$$-x<0$} পরমমান ফাংশন বলে।

যেমন: $f\left(x\right)=c-\frac{\left|x\right|}{2}$ একটি পরমমান ফাংশন।

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{x}{\left|x\right|}$

$f\left(0\right)=\frac{0}{\left|0\right|}=\frac{0}{0}$যা অসংজ্ঞায়িত।

$\therefore$ x = 0 বিন্দুতে প্রদত্ত ফাংশনটি বিদ্যমান নয়। শূন্য ব্যতিত x এর অন্য বাস্তব মানের জন্য প্রদত্ত ফাংশনটি বিদ্যমান।

$\therefore$ ফাংশনের ডোমেন $D_f=R-\left\{0\right\}$

$f\left(x\right)=\frac{x}{\left|x\right|}${ $\frac{x}{x}=1$যখন $x>0$; $\frac{x}{-x}=-1$ যখন $x<0$}

$\therefore$ ফাংশনের রেঞ্জ $R_f=\left\{-1,1\right\}$

দেওয়া আছে,$f\left(x\right) = In\frac{8+x}{8-x}$

ধরি, $y=f\left(x\right) = In\frac{8+x}{8-x}$

বা, $y= In\frac{8+x}{8-x}$

বা, $8+x=8e^y-x{e}^y$

বা, $x+x{e}^y=8e^y-8$=

বা, $\left(1+e^y\right)x=8\left(e^y-1\right)$

বা, $x= \frac{8\left(e^y-1\right)}{e^y+1}$

এখানে, y এর সকল বাস্তব মানের জন্য x এর মান বাস্তব হয়।

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ= R.