সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

এখানে, $\angle$AXB = 50$°$ $\angle$AXB এর সম্পূরক কোণ  $\angle$BXC কে XD রেখাংশ দ্বারা সমদ্বিখণ্ডিত করা হয়েছে।

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ বা $180°$ হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলে।

চিত্রে $\angle$AOC ও $\angle$COB পরস্পর সম্পূরক কোণ।

এখানে, ∆ ABC এর পরিসীমা, p=6 সে.মি. এবং ∠B=60°, ∠C=45°.

আবার, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°

$∆$ABC এ, $\angle$ A+ $\angle$ B+ $\angle$ C = 180°

$\angle A=180°-(\angle B +\angle C)$

$\angle A = 180°- (60°+ 45°)$

$\angle A = 75°$

নির্ণেয় $\angle$A এর মান 75°.

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ 70°

ভূমি সংলগ্ন সম্পূরক কোণের অর্ধেক = $\frac{\left(180°-70°\right)}{2}$

$=55°$

নির্ণেয় ভূমি সংলগ্ন সম্পূরক কোণের অর্ধেক 55°.

দেওয়া আছে, a= 3 সে.মি., b = 3 সে.মি., c = 5 সে.মি.

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।

এখানে, a + b = 3 + 3 = 6 > c

a + c = 3 + 5 = 8 > b এবং b + c = 3 + 5 = 8 > a

ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

চিত্রে, ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার সমান সমান বাহু AB AC =a=৪ সে.মি. এবং ভূমি BC=b=5 সে.মি.।

চিত্রে ABC ত্রিভুজে, ∠A = ∠B = ∠C = 60°

বহিঃস্থ কোণের যোগফল = ∠CAD+∠ ACF +∠CBE

=(180°+60°)+(180°-60°)+(180°- 60°)

= 360°

চিত্রে ABC একটি পরিবৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভুজ অংকন করা হলো যার ভরকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও লম্বকেন্দ্র হলো একই বিন্দু O

চিত্রে. O কেন্দ্রবিশিষ্ট
ABE বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = OB = a = 3 সে.মি. যা A ও B দুইটি বিন্দু দিয়ে যায়।

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OB = OC = 3 সে.মি

চিত্রে, বৃত্তের স্পর্শকম্বয় AB ও AC'

বৃত্তের স্পর্শক বৃত্তের স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।

$AB\perp OB$

এখন, $∆OBA$ সমকোণী ত্রিভুজে,

$O{B}^2+A{B}^2=O{A}^2$

$$\begin{gathered} A{B}^2 = O{A}^2-O{B}^2 \\ =5^2-3^2 \\ AB=\sqrt{25-9} \\ =\sqrt{16} \\ =4 \end{gathered}$$

বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।

চিত্রে, বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু A এবং AB ও AC বৃত্তের দুইটি স্পর্শক।

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে এদের মধ্যকার সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা হবে তিনটি। সাধারণ স্পর্শকগুলো এঁকে দেখানো হলো:

একই ব্যাসার্ধের দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করলে চারটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব। সাধারণ স্পর্শকগুলো এঁকে দেখানো হলো।

ধরি, C₁ ও C₂ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শক করে এবং ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁= 2cm ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂ =?

প্রশ্নমতে, c₁ c₂= 8

বা, r₁+r₂ = 8

r₂ = 8 - r₁ = 8 - 2 = 6 সে.মি.

নির্ণেয় অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি.

ধরি, O ও M কেন্দ্রবিশিস্ট দুইটি বৃত্ত।

বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r_¹ = ON = 5 সে.মি.

বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, OM = 2 সে.মি.। ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂ = MN = ?

এখন, OM + MN = ON

বা, MN = ON-OM

বা, MN-5-2-3

ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3'সে.মি

ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রফল =${{\mathrm{\pi r}}_2}^2$

=$\mathrm{\pi }\times 3^2$ বর্গ সে.মি.

= 28.274 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 28.274 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

চিত্রে, তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র যথাক্রমে A, B ও C.

A, B, C কেন্দ্রত্রয় দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের পরিসীমা,

=AB+BC+ AC

=$\left\{(3+4)+(4+5)+(3+5)\right\}$

=(7+9+8) সে.মি

= 24 সে.মি

বৃত্তগুলোর কেন্দ্রত্রয় দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের পরিসীমা 24 সে.মি.।

দেওয়া আছে, বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য AB = 3 সে.মি.

এবং কেন্দ্র থেকে বহিঃস্থ বিন্দুর দূরত্ব, OA = 4 সে.মি.

$\because OB\perp OA \because ∆OAB$ সমকোণী ত্রিভুজে

$O{B}^2+A{B}^2=O{A}^2$

$O{B}^2=O{A}^2-A{B}^2$

$O{B}^2=4^2-3^2$

$O{B}^2=16-9=7$

$OB =\sqrt{7}=2.646$ (প্রায়)

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2.646 সে.মি. (প্রায়)।

চিত্রে একটি ত্রিভুজের ভূমি a অপর দুই বাহুর সমষ্টি s  এবং ভূমিসংলগ্ন কোণ ∠x

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি a, অপর বাহুদ্বয়ের সমষ্টি ৪ এবং শিরঃকোণ ∠x দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

অঙ্কনের বিববরণ:

ধাপ ১. যেকোনো রশ্মি DE থেকে DB= s অংশ কেটে নিই।

ধাপ ২. BD রেখার D বিন্দুতে ∠BDF =$\frac{1}{2}$∠x অঙ্কন করি।

ধাপ ৩. B কে কেন্দ্র করে ভূমি । এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি যা DF কে Cও C' বিন্দুতে ছেদ করে। ।  B, C ও B, C যোগ করি।

ধাপ ৪. C বিন্দুতে $\angle$BDP এর সমান $\angle$DCA এবং C' বিন্দুতে $\angle$BDF এর সমান $\angle$ DC'A' অঙ্কন করি। CA ও C'A' রেখাদ্বয় BD কে যথাক্রমে A ও A' বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে ABC ও A'BC' ত্রিভুজদ্বয় উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

মনে করি, ত্রিভুজের ভূমি, অপর বাহুদ্বয়ের সমষ্টি s এবং ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয়ের অন্তর $\angle$x দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:
ধাপ ১. যেকোনো রশ্মি BX থেকে এর সমান করে BC কেটে নিই।
ধাপ ২. BC রেখাংশের C বিন্দুতে $\frac{1}{2}$$\angle x$ এর সমান করে $\angle BCD$ অঙ্কন করি

ধাপ ৩. এখন, C বিন্দুতে CD রেখার উপর CK লম্ব অঙ্কন করি।

ধাপ ৪. B কে কেন্দ্র করে ৪ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে CK এর উপর একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি মনে করি তা CK কে ওG বিন্দুতে ছেদ করে।
ধাপ ৫. B, G যোগ করি।

ধাপ ৬. এখন CK রেখার C বিন্দুতে $\angle$BGC এর সমান করে $\angle$GCA অঙ্কন করি। CA রেখা BG কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, $∆$ ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

চিত্রে ABC ত্রিভুজের পরিসীমা S = 9 সে.মি., $\angle$ B = 60$°$ এবং $\angle$C = 45$°$

মনে করি, ABC ত্রিভুজের দুইটি কোণ ∠x ও ∠y এবং বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর এ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ :

ধাপ ১. যেকোনো রশ্মি AX এর A বিন্দুতে ∠x এর সমান করে ∠DAX কোণ অঙ্কন করি।

ধাপ ২. AD থেকে d এর সমান করে AE অংশ কেটে নিই।

ধাপ ৩. AE রেখার ও বিন্দুতে $\frac{1}{2}$ (∠x + ∠y) এর সমান করে ∠DEB কোণ অঙ্কন করি। মনে করি, EB রেখা AX কে B বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৪. B বিন্দুতে ∠DEB এর সমান করে ∠EBC অঙ্কন করি।

মনে করি, BC রেখা AD রেখাংশকে C বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

মনে করি, ABC ত্রিভুজের ভূমি BC = a, ভূমি সংলগ্ন কোণ ∠B ও ∠C এর অন্তর x এবং অপর বাহুদ্বয়ের সমষ্টি S দেওয়া আছে। ABC ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

ধাপ ১. যেকোনো রশ্মি BX থেকে a এর সমান করে BC কেটে নিই।

ধাপ ২. BC রেখাংশের C বিন্দুতে $\frac{1}{2}$ ∠x এর সমান করে ∠BCD  অঙ্কন করি।

ধাপ ৩. এখন, C বিন্দুতে CD রেখার উপর CK লম্ব অঙ্কন করি।

ধাপ ৪. B কে কেন্দ্র করে এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে CK এর উপর একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি মনে করি তা CK কে ও বিন্দুতে ছেদ করে।
ধাপ ৫. B. G যোগ করি।

ধাপ ৬. এখন CK রেখার C বিন্দুতে ∠BGC এর সমান করে ∠GCA অঙ্কন করি। CA রেখা BG কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, △ ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

মনে করি ABC ত্রিভুজের ভূমি BC = a. শিরঃকোণ A = ∠x ও অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টি ∠y দেওয়া আছে ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ :

ধাপ ১. BM যেকোনো রশ্মি নিই।

ধাপ ২. BM এর উপর যেকোনো একটি বিন্দু A নিই।

ধাপ ৩. A বিন্দুতে ∠BAD = ∠x অঙ্কন করি।

ধাপ ৪. B কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে 'AD রেখার উপর একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি যা AD রেখাকে C বিন্দুতে ছেদ করে

ধাপ ৫. B, D যোগ করি।

তাহলে ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

মনে করি ABC ত্রিভুজের ভূমি BC a, শিরঃকোণ ∠A = ∠x এবং অপর কোণদ্বয়ের অন্তর ∠y দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

ধাপ ১. যেকোনো রশ্মি BX হতে ভূমি সমান করে BC অংশ কেটে নিই।

ধাপ ২. B বিন্দুতে BC এর উপর BY লম্ব অঙ্কন করি।

ধাপ ৩. B কিদুতে $\frac{1}{2}$ ∠x এর সমান করে ∠YBD অঙ্কন করি এবং $\frac{1}{2}$ ∠y এর সমান করে ∠DBF অঙ্কন করি।

ধাপ ৪. C বিন্দুতে $\frac{1}{2}$ ∠y এর সমান করে ∠BCE অঙ্কন করি। CE রেখা BF রেখাকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৫. আবার C বিন্দুতে ∠FEC এর সমান করে ∠ECA কোপ অঙ্কন করি। CA রেখা BF রেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

মনে করি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a এবং অপর দুই বাহুর সমন্টিস্ট s দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

ধাপ ১. যেকোনো রশ্মি DX থেকে s এর সমান করে DC অংশ কেটে নিই।

ধাপ ২. CD রেখাংশের D বিন্দুতে ∠CDF = 45° কোণ অঙ্কন করি।

ধাপ ৩. C কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি। মনে করি, বৃত্তচাপটি DF রেখাকে A ও A' বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৪. C, A ও C, A' যোগ করি।

ধাপ ৫. এখন CD রেখার উপর A ও A' হতে যথাক্রমে AB$\perp$CD এবং A'B'$\perp$CD আঁকি।

তাহলে $△$ABC ও $△$A'B'C-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

মনে করি, ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ ∠x, উচ্চতা ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ :

ধাপ ১. যেকোনো রশ্মি AX এর A বিন্দুতে ∠x এর সমান করে। ∠XAL অঙ্কন করি।

ধাপ ২. AL থেকে s এর সমান করে AM অংশ কেটে নিই।

ধাপ ৩. AN$\perp$AX অঙ্কন করি।

ধাপ ৪. AN থেকে h এর সমান করে AO অংশ কেটে নিই।

ধাপ ৫. O বিন্দুতে OC || AX অঙ্কন করি। OC রেখা AL কে C বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৬. C কে কেন্দ্র করে CM এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি যা AX কে B ও B' বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৭. C, B ও C, B' যোগ করি।

তাহলে, ABC ও AB'C-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a ও অপর দুই বাহুর অন্তর d দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ :

ধাপ ১. যেকোনো রশ্মি OF এর O বিন্দুতে ∠FOP = 45° আঁকি।

ধাপ ২. PO কে B পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন OB = d হয়।

ধাপ ৩. B বিন্দুকে কেন্দ্র করে এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যেন তা OF কে C বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৪. B, C যোগি করি।

ধাপ ৫. C বিন্দুতে ∠OCA = ∠COP অঙ্কন করি যেন CA রেখা OP কে A বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে ABC : -ই উদ্দিস্ট ত্রিভুজ।

মনে করি, একটি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় a, b ও c দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন :

ধাপ ১. যেকোনো রশ্মি AE থেকে AL = a নিই। AL হতে AG = $\frac{2}{3}$ a নিই। LE হতে LD = LG নিই।

ধাপ ২. G কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে $\frac{2}{3}$ b এবং $\frac{2}{3}$ c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে দুইটি বৃত্ত অঙ্কন করি।

ধাপ ৩. D. কে কেন্দ্র করে D এর বামপাশে $\frac{2}{3}$ c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি যা প্রথমে অঙ্কিত বৃত্তকে B বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৪. B ও L যোগ করে বর্ধিত করি যা দ্বিতীয় বারে অঙ্কিত বৃত্তকে C বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৫. A, B এবং A, C যোগ করি।

তাহলে ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

মনে. করি, AB রেখায় C একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং কেন্দ্রবিশিষ্ট অপর একটি বৃত্ত। এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা AB কে C বিন্দুতে এবং P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে স্পর্শ করে।

অঙ্কনের বিবরণ:

ধাপ ১. C বিন্দুতে AB এর সাথে লম্ব রেখা DC আঁকি।

ধাপ ২. P বিন্দু হতে DC এর উপর PE লম্ব আঁকি। PE রেখাটি DC কে E বিন্দুতে এবং P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে। বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৩. C, F যোগ করি।

ধাপ ৪. এখন F বিন্দুতে ∠ECF = ∠CFO আঁকি। FO রেখা EC রেখাকে বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৫. O কে কেন্দ্র করে OC বা OF এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটিই নির্ণেয় বৃত্ত।

মনে করি, P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে A একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং Q কেন্দ্রবিশিষ্ট অপর একটি বৃত্ত। এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে A বিন্দুতে এবং Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে কোনো বিন্দুতে স্পর্শ করে।

অঙ্কনের বিবরণ :

ধাপ ১. P. A যোগ করে B পর্যন্ত বর্ধিত করি এবং A বিন্দুতে একটি স্পর্শক AC অঙ্কন করি।

ধাপ ২. এখন হতে AC এর উপর QD লম্ব অঙ্কন করি এবং DQ কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন তা কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৩. A, E যোগ করি। AE রেখা Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৪. Q, F যোগ করে O পর্যন্ত বর্ধিত করি। QO রেখাটি AB রেখাকে বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৫. O কে কেন্দ্র করে OA বা OF এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি।

তাহলে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটিই নির্ণেয় বৃত্ত।

মনে করি, PQ একটি নির্দিস্ট সরলরেখা এবং ০ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু C। এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে ০ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে C বিন্দুতে ও PQ সরলরেখাকে কোনো বিন্দুতে স্পর্শ করে।

ধাপ ১. O, C যোগ করি।

ধাপ ২. C বিন্দুতে CD স্পর্শক অঙ্কন করি যেন তা PQ কে D বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৩. ∠CDQ এর সমদ্বিখন্ডক অঙ্কন করি। OC কে বর্ধিত করায় তা সমদ্বিখণ্ডককে O' বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৪. O' থেকে PQ এর উপর O'A লম্ব আঁকি।

ধাপ ৫. এখন O' কে কেন্দ্র করে O'A বা O'C এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABC বৃত্ত অঙ্কন করি।

তাহলে, ABC-ই উদ্দিষ্ট বৃত্ত।

মনে করি a, b, c তিনটি নির্দিষ্ট রেখাংশ। এই রেখাংশকে ব্যাসার্ধ হিসাবে নিয়ে এমন তিনটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যারা পরস্পরকে রহিঃস্পর্শ করে।

অঙ্কনের বিবরণ:

ধাপ ১. যেকোনো রেখাংশ BX থেকে (b + c) এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।

ধাপ ২. B কে কেন্দ্র করে (b + a) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি।

ধাপ ৩. আবার C কেন্দ্র করে (c+a) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর এ বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৪. A, B ও A, C যোগ করি। এখন A, B ও C কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে a, b ও c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে তিনটি বৃত্ত অঙ্কন করি।  বৃত্তত্রয় P, Q ও R বিন্দুতে স্পর্শ করে।

অতএব A, B ও C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত তিনটিই নির্ণেয় বৃত্ত।