সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে এরূপ একজোড়া অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ককে আয়তাকার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক বলে। বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y) একটি ক্রমজোড় বোঝায় যার প্রথমটি ভুজ ও দ্বিতীয়টি কোটি নির্দেশ করে।

কার্তেসীয় সমতলে কোনো বিন্দুর X স্থানাঙ্ককে ঐ বিন্দুর ভুজ এবং y স্থানাঙ্ককে ঐ বিন্দুর কোটি বলে। অর্থাৎ, y অক্ষ হতে কোনো বিন্দুর লম্ব দূরত্বকে ভুজ এবং x অক্ষ হতে কোনো বিন্দুর লম্ব দূরত্বকে কোটি বলে।

কোনো বিন্দু y অক্ষের উপর অবস্থান করলে তখন তার ভুজ শূন্য অর্থাৎ y অক্ষের উপর ভুজ শূন্য। আবার কোনো বিন্দু x অক্ষের উপর অবস্থান করলে তখন ঐ বিন্দুর কোটি শূন্য। অর্থাৎ x অক্ষের উপর কোটি শূন্য।

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় দ্বারা সমতল $XOY, YOX\text{'},$$X\text{'}OY\text{'}$ও $Y\text{'}OX$ এই চারটি ভাগে বিভক্ত। এদের প্রত্যেকটিকে চতুর্ভাগ বলে।

আমরা জানি, ১ম চতুর্ভাগে ভুজ ও কোটি ধনাত্মক। যেহেতু $A(2, 3)$ বিন্দুর ভুজ ও কোটি উভয়ই ধনাত্মক। সেহেতু $A(2, 3)$ বিন্দুটি ১ম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

আমরা জানি, ২য় চতুর্ভাগে ভুজ ঋণাত্মক ও কোটি ধনাত্মক। যেহেতু $(-1, 4)$ বিন্দুর ভুজ ঋণাত্মক ও কোটি ধনাত্মক, সুতরাং $(-1, 4)$ বিন্দু ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত।

আমরা জানি, তৃতীয় চতুর্ভাগে ভুজ ও কোটি ঋণাত্মক।

যেহেতু $(-2, -3)$ বিন্দুর ভুজ ও কোটি ঋণাত্মক।

সুতরাং, $(-2, -3)$ বিন্দু তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।

আমরা জানি, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে ভুজ ধনাত্মক ও কোটি ঋণাত্মক। যেহেতু $P(3,- 5)$ বিন্দুর ভুজ ধনাত্মক ও কোটি ঋণাত্মক।

সুতরাং $P(3,- 5)$ বিন্দু দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।

x-অক্ষ বরাবর মূলবিন্দু থেকে বাম দিকে $\left|-4\right|=4$একক দূরত্বে $(-4,0)$ বিন্দুতে পৌঁছানোর পর y অক্ষের সমান্তরালে উপরের দিকে 5 একক দূরত্ব অতিক্রম করে  $A(- 4, 5)$ বিন্দুতে পৌছাতে পারি।

A(1,2) ও B(1, 0) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব

$AB=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2}$

$=\sqrt{0^2+{\left(-2\right)}^2}$

$=\sqrt{0+4}$

$=\sqrt{4}$

$=2$ একক

নির্ণেয় দূরত্ব $2$ একক

(-1, 2) ও (3, 6) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

$=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

$=\sqrt{{\left\{3-\left(-1\right)\right\}}^2+{\left\{\left(-6\right)-2\right\}}^2}$

$=\sqrt{{\left(3+1\right)}^2+{\left(-6-2\right)}^2}$

$=\sqrt{4^2+{\left(-8\right)}^2}$

$=\sqrt{16+64}$

$=\sqrt{80}$ একক

$=4\sqrt{5}$ একক

নির্ণেয় দূরত্ব $4\sqrt{5}$একক

মনে করি, বিন্দু দুইটি $(x_1,y_1)$ ও $(x_2,y_2)$

ভুজদ্বয়ের পার্থক্য  $x_2-x_1=4$

এবং কোটিদ্বয়ের পার্থক্য  $y_2-y_1=6$

আবার, বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

$=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

$=\sqrt{4^2+6^2}$

$=\sqrt{16+36}$

$=\sqrt{52}$

$=2\sqrt{13}$ একক

নির্ণেয় দূরত্ব  $2\sqrt{13}$ একক।

(0, - 1) এবং (2, -3) বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

$=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$

$=\sqrt{{(0-2)}^2+{(-1+3)}^2}$

$=\sqrt{{(-2)}^2+2^2}$

$=\sqrt{4+4}$

$=\sqrt{8}$

$=2\sqrt{2}$

নির্ণেয় দূরত্ব $2\sqrt{2}$

এখানে, A(- 6, 2) এবং B(- 13, 4) দুইটি বিন্দু

A ও B বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব

=$\sqrt{}$(ভুজদ্বয়ের পার্থক্য)² + (কোটিদ্বয়ের পার্থক্য)² একক

$=\sqrt{(-13+6{)}^2+(4-2{)}^2}$

$=\sqrt{(-7{)}^2+2^2}$একক

$=\sqrt{53}$ একক

$\therefore$ A ও B বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব $\sqrt{53}$ একক।

এখানে, E(- 13, - 6) এবং F(- 6, - 1) দুইটি বিন্দু।

$\therefore$E ও F বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব

=$\sqrt{}$(ভুজদ্বয়ের পার্থক্য)² + (কোটিদ্বয়ের পার্থক্য)² একক

$=\sqrt{(-6+13{)}^2+(-1+6{)}^2)}$

$=\sqrt{7^2+5^2}$একক।

$=\sqrt{74}$একক।

$\therefore$E ও F বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব $\sqrt{74}$একক।

আমরা জানি, (0,0) মূলবিন্দু।

(0, 0) ও (4,0) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

$=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(4-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}$

$=\sqrt{4^2+0}$

$=\sqrt{16}$

$=4$ একক

নির্ণেয় দূরত্ব 4 একক।

মনে করি, A(-1,-1), B(0, 1) ও C(2, 5) তিনটি বিন্দু।

এখন, AB রেখাংশের ঢাল $=\frac{1-(-1)}{0-\left(-1\right)}=\frac{1+1}{1}=2$

BC রেখাংশের ঢাল $=\frac{5-1}{2-0}=\frac{4}{2}=2$

যেহেতু রেখাংশ দুইটির ঢাল সমান সুতরাং, বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

অতএব, বিন্দু তিনটি দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

ধরি, A (1, 1) ও B(sin $\theta$+ 1, cos $\theta$ + 1) দুইটি বিন্দু।

$\therefore$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

$AB=\sqrt{{\left\{\left(\sin \theta +1\right)-1\right\}}^2+{\left\{\left(\cos \theta +1\right)-1\right\}}^2}$একক

$=\sqrt{{\left(\sin \theta +1-1\right)}^2+{\left(\cos \theta +1-1\right)}^2}$একক

$=\sqrt{{\sin }^2 \theta +{\cos }^2 \theta }$একক

$=1$একক

নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 1 একক।

প্রদত্ত বিন্দু  $A\left(m^2,9\right)$

A বিন্দুটি অক্ষদ্বয় হতে সমদূরবর্তী হলে

A বিন্দুর ভুজ = A বিন্দুর কোটি

বা, $m^2=9$

$\therefore$ $m=\pm 3$

নির্ণেয় মান: $m=\pm 3$

A(p, 4) থেকে মূলবিন্দু (0,0) এর দূরত্ব

$=\sqrt{{(p-0)}^2+{\left(4-0\right)}^2}=\sqrt{p^2+16}$

শর্তমতে, $\sqrt{p^2+16}=5$

বা, $p^2+16=25$   [বর্গ করে]

বা, $p^2=25-16=9$

$\therefore$  $p=\sqrt{9}=3$

নির্ণেয় মান : p = 3