P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে।

চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।

মনে করি, P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি জ্যা। P থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে PL ও PM লম্ব।

তাহলে PL ও PM কেন্দ্র থেকে যথাক্রমে AB ও CD জ্যায়ের দূরত্ব নির্দেশ করে। PL = PM হলে প্রমাণ করতে হবে যে, AB = CD.

অঙ্কন: P, A এবং P, C যোগ করি।

প্রমাণ :

ধাপ ১: যেহেতু PL $\perp$ AB এবং PM $\perp$ CD.

সুতরাং, ∠PLA = ∠PMC = এক সমকোণ [প্রত্যেকে সমকোণ]

ধাপ ২: এখন, △ PAL এবং △ PCM সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে

অতিভুজ PA = অতিভুজ PC [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

এবং PL = PM [কল্পনা]

△PAL $\equiv$ △PCM [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু-সর্বসমতা উপপাদ্য]

$\therefore$ AL = CM.

ধাপ ৩ : AL = $\frac{1}{2}$ AB এবং CM = $\frac{1}{2}$ CD  [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

ধাপ ৪: সুতরাং  $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$CD

$\therefore$ AB = CD (প্রমাণিত)

মনে করি, P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, P, O, Q বিন্দু তিনটি সমরেখ।

অঙ্কন: যেহেতু বৃত্তদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে স্পর্শ করেছে, সুতরাং O বিন্দুতে এদের একটি সাধারণ স্পর্শক থাকবে। এখন O বিন্দুতে সাধারণ স্পর্শক COD অঙ্কন করি এবং O, P ও O, Q যোগ করি।

প্রমাণ : P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং COD স্পর্শক। সুতরাং ∠COP = এক সমকোণ।

তদুপ ∠COQ = এক সমকোণ।

এখন, ∠COP + ∠COQ = এক সমকোণ + এক সমকোণ = দুই সমকোণ।

বা, ∠POQ = দুই সমকোণ [∠COP + ∠COQ = ∠POQ]

অর্থাৎ, ∠POQ একটি সরলকোণ।

$\therefore$ P, O, Q বিন্দুত্রয় সমরেখ। (প্রমাণিত)