ধরি, sin-1x=z∴11-x2dx=dzx=1 হলে z=π2x=0 হলে z=0এখন, ∫01sin-1x1-x2dx=∫0π/2zdz=z22π/2=π222-02=π28 Ans ধরি, 1+cosx=z⇒sinx dx=dz-1যখন, x=0, z=2 এবং যখন, x=π2, z=1এখন, ∫21z2-dz=-z3321=73 Ans

Created: 3 years ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

RUET RUET - 2007 উচ্চতর গণিত 2007

194

(A)

মান নির্ণয় কর :

\int_{0}^{1} \frac{\sin^{- 1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

উত্তরঃ

ধরি, $\sin^{- 1} x = z$

$∴ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx = dz$

$x = 1$ হলে $z = \frac{π}{2}$

$x = 0$ হলে $z = 0$

এখন, $\int_{0}^{1} \frac{\sin^{- 1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

$= \int_{0}^{π / 2} z d z = {[\frac{z^{2}}{2}]}^{π / 2} = (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2}) = \frac{π^{2}}{8}$ $(Ans)$

Almumen

3 years ago

(B)

মান নির্ণয় কর :

\int_{0}^{π / 2} {(1 + c o s x)}^{2} s i n dx

উত্তরঃ

ধরি, $(1 + c o s x) = z$

$\Rightarrow s i n x dx = dz (- 1)$

যখন, $x = 0, z = 2$ এবং যখন, $x = \frac{π}{2}, z = 1$

এখন, $\int_{2}^{1} z^{2} (- dz) = - {[\frac{z^{3}}{3}]}_{2}^{1} = \frac{7}{3} (Ans)$

Almumen

3 years ago

194

MCQ: 17.6k CQ: 271

Practice

ডাউনলোড করুন স্যাট একাডেমি অ্যাপ

Related Question

View All

(i)

যোগজীকরণ কর :

\int 2^{\ln x} dx

রাজশাহী প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় রাজশাহী প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় শিক্ষাবর্ষঃ ২০১৯-২০২০ - 2019 উচ্চতর গণিত 2019

345

উত্তরঃ

$Let, I = \int 2^{\ln x} dx = 2^{\ln x} \int d x - \int ({\frac{d}{d x}}^{(2^{\ln x})} \int d x) d x$

$= 2^{\ln x} . x - \int 2^{\ln x} . l n 2. \frac{1}{x} . x d x = x 2^{\ln x} - l n 2 \int 2^{\ln x} d x$

$= x 2^{\ln x} - I . l n 2$

$∴ I + I l n 2 = x 2^{\ln x}$

$\Rightarrow I (I + l n 2) = x 2^{\ln x}$

$\Rightarrow I = \frac{x 2^{\ln x}}{1 + l n 2} + C$

Almumen

3 years ago

345

(ii)

দেখাও যে

\int_{a}^{b} \frac{f (x) d x}{f (a + b - x) + f (x)} = \frac{b - a}{2}

324

উত্তরঃ

Almumen

3 years ago

324

(A)

প্রমান কর যে,

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

রাজশাহী প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় রাজশাহী প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় শিক্ষাবর্ষঃ ২০০৮-২০০৯ - 2008 উচ্চতর গণিত 2008

360

উত্তরঃ

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + . . . .) - 1}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x (1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{3!} + . . .)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{3!} + . . . .}{1}$

$= 1 ∴ L . H . S = R . H . S (P r o v e d)$

Almumen

3 years ago

360

(B)

মান নির্ণয় কর:

\lim_{x \to 0} \frac{3 s i n x - s i n 3 x}{x^{3}}

342

উত্তরঃ

$\lim_{x \to 0} \frac{3 s i n x - s i n 3 x}{x^{3}}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{4 s i n^{3} x}{x^{3}}$

$= \lim_{x \to 0} {(\frac{\sin x}{x})}^{3} \times 4$

$= 4 \times 1 = 4 (A n s)$

Almumen

3 years ago

342

(A)

x-এর সাপেক্ষে অন্তরক নির্ণয় কর : $\frac{d}{d x} (x^{x^{x}})$

326

উত্তরঃ

$\frac{d}{d x} (x^{x^{x}}) = \frac{d}{d x} (e^{l n x^{x^{x}}}) = e^{\ln^{x^{x^{x}}}} \frac{d}{d x} (x^{x} \ln x)$

$= x^{x^{x}} \{x^{x} \frac{1}{x} + l n x \frac{d}{d x} (x^{x})\}$

$= x^{x^{x}} \{x^{x} \frac{1}{x} + l n x . x^{x} \frac{d}{d x} (x l n x)\}$

$= x^{x^{x}} \{x^{x} \frac{1}{x} + l n x . x^{x} (x \frac{1}{x} l n x)\}$

$= x^{x^{x}} x^{x} \{\frac{1}{x} + l n x (1 + l n x)\} (A n s)$

Almumen

3 years ago

326

(B)

যদি

y = {(\cos^{- 1} x)}^{2}

হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

(1 - x^{2}) y_{2} - x y_{1} = 2

408

উত্তরঃ

$y = {(\cos^{- 1} x)}^{2}$

$\Rightarrow y_{1} = 2 (\cos^{- 1} x) \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

$\Rightarrow y_{1}^{2} (1 - x^{2}) = 4 {(\cos^{- 1} x)}^{2}$

$\Rightarrow y_{1}^{2} (1 - x^{2}) = 4 y$

$∴ y_{1}^{2} (- 2 x) + (1 - x^{2}) 2 y_{1} y_{2} = 4 y_{1}$

$\Rightarrow (1 - x^{2}) y_{2} - {xy}_{1} = 2 (Proved)$

Almumen

3 years ago

408

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র