প্রদত্ত সমীকরণটি হলো,

\[y^{y\sqrt{y}} = (y\sqrt{y})^y\]

আমরা জানি, \(\sqrt{y} = y^{1/2}\) ।

অতএব, \(y\sqrt{y} = y \cdot y^{1/2} = y^{1 + 1/2} = y^{3/2}\)

এখন সমীকরণে \(y\sqrt{y}\) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

\[y^{y^{3/2}} = (y^{3/2})^y\]

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, \((a^m)^n = a^{mn}\) হয়।

সুতরাং, সমীকরণের ডানপক্ষ হবে: \((y^{3/2})^y = y^{(3/2) \cdot y}\)

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়ায়,

\[y^{y^{3/2}} = y^{(3/2)y}\]

যদি দুটি সূচকীয় রাশির ভিত্তি (base) সমান হয়, তবে তাদের সূচক (exponent) ও সমান হবে।

অর্থাৎ,

\[y^{3/2} = \frac{3}{2}y\]

এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য দুটি সম্ভাব্য ক্ষেত্র বিবেচনা করতে হবে:

ক্ষেত্র ১: যখন \(y=1\)

মূল সমীকরণে \(y=1\) বসিয়ে পরীক্ষা করি:

\[1^{1\sqrt{1}} = (1\sqrt{1})^1\]

\[1^1 = 1^1\]

\[1 = 1\]

যেহেতু উভয়পক্ষ সমান, সুতরাং \(y=1\) একটি সমাধান।

ক্ষেত্র ২: যখন \(y \neq 0\) এবং \(y \neq 1\)

\[y^{3/2} = \frac{3}{2}y\]

উভয়পক্ষকে \(y\) দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু \(y \neq 0\)):

\[\frac{y^{3/2}}{y} = \frac{3}{2}\]

\[y^{(3/2) - 1} = \frac{3}{2}\]

\[y^{1/2} = \frac{3}{2}\]

\[\sqrt{y} = \frac{3}{2}\]

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

\[(\sqrt{y})^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2\]

\[y = \frac{9}{4}\]

সুতরাং, \(y = \frac{9}{4}\) ও একটি সমাধান।

অতএব, \(y\) এর সম্ভাব্য মানসমূহ হলো \(1\) এবং \(\frac{9}{4}\)।

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \(g(x) = \ln(y)\)

এখানে, \(g(x)\) এর রেঞ্জ (Range) নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। ফাংশনটির মান \(y\) এর উপর নির্ভরশীল।

প্রাকৃতিক লগারিদম ফাংশন (\(\ln\)) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর ভেতরের পদ বা আর্গুমেন্ট (argument) সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে।

অর্থাৎ, \(y > 0\) হতে হবে।

যখন \(y > 0\) হয়, তখন \(\ln(y)\) এর মান -\(\infty\) (মাইনাস ইনফিনিটি) থেকে +\(\infty\) (প্লাস ইনফিনিটি) পর্যন্ত যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ:
\(y\) যখন 0 এর খুব কাছাকাছি ধনাত্মক মান গ্রহণ করে (\(y \to 0^+\)), তখন \(\ln(y) \to -\infty\).
\(y = 1\) হলে, \(\ln(y) = \ln(1) = 0\).
\(y\) যখন অসীমের দিকে যায় (\(y \to +\infty\)), তখন \(\ln(y) \to +\infty\).

সুতরাং, ফাংশন \(g(x) = \ln(y)\) এর রেঞ্জ হলো সকল বাস্তব সংখ্যার সেট।

রেঞ্জটিকে অন্তরক ব্যবধি (interval notation) আকারে প্রকাশ করলে হয়: \( (-\infty, +\infty) \).