The ratio between the length and the breadth of a rectangular park is 3 : 2. If a man cycling along the boundary of the park at the speed of 12km/hour completes one round in 8 minutes, then what is the area of the park in square meters?

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র দৈর্ঘ্য x প্রস্থ।

দেয়া আছে, রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = (৫০-২x) মিটার

$\therefore$রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = (৪০-২x) মিটার

প্রশ্নমতে, (৫০-২x)(৪০-২x)=১২০০

=২০০০-১০০x-৮০x+৪x^২=১২০০

=x^২-৪৫x+২০০=০

=x^২-৪০x-৫x+২০০=০

=x(x-৪০)-৫(x-৪০)=০

$\therefore$(x-৪০) (x-৫)=০

এখানে x=৪০ হতে পারে না কেননা, তা প্রস্থের সমান হয়ে যায়।

$\therefore$x=৫

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা 

= ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 

=২(৫০+৪০) মিটার

=২$\times$৯০ মিটার

=১৮০ মিটার

এখন, বর্গাকার ক্ষেত্রের একবাহু x হলে ৪x হলো তার পরিসীমা।

প্রশ্নমতে, ৪x = ১৮০

=x=$\frac{১৮০}{৪}=৪৫$

$\therefore$^x২=(৪৫)^২=২০২৫

অর্থ্যাৎ বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে ২০২৫ বর্গমিটার।

দেয়া আছে, বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ৫ ফুট

অতএব, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৫^২ = ২৫ ফুট 

অতএব, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গফুট

দেয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪ ফুট

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য= $\frac{২৫}{৪}=৬.২৫$ ফুট

Let, the length of the rectangle is x meter 

And the width of the rectangle is y meter

According to question,

$$\begin{gathered} 2y=x+10 ............ \left(i\right) \\ And xy=600 ....... \left(ii\right) \\ From equation \left(ii\right) \\ xy=600 \\ x=\frac{600}{y}...........\left(iii\right) \\ Putting the value of x in equation \left(i\right) \\ 2y=x+10 \\ \Rightarrow 2y=\frac{600}{y}+10 \\ \Rightarrow 2y^2-10y-600=0 \\ \Rightarrow y^2-5y-300=0 \left[Dividing both sides by 2\right] \\ \Rightarrow y^2-20y+15y-300=0 \\ \Rightarrow y\left(y-20\right)+15\left(y-20\right)=0 \\ \Rightarrow \left(y-20\right)\left(y+15\right)=0 \\ \therefore \left(y-20\right)\left(y+15\right)=0 \end{gathered}$$

Since width cannot be (-)ve. So we find y=20

That means the width of the rectangle is 20 meters

The length of the rectangle is $x=\frac{600}{y}$ 

$\therefore x=\frac{600}{20}=30$

The length of the rectangle is 30 meters.

 The perimeter of the rectangle = $2\times (30+20) = 2\times 50=100$ meters. 

ans. The perimeter is 100m.