অসীম ধারা

অসীম ধারা - উচ্চতর গণিত - এসএসসি | NCTB BOOK

6.3k

MCQ: 62

বাস্তব সংখ্যার একটি অনুক্রম $u_{1}, u_{2}, u_{3}, . . . ., u_{n}, . . . .$ হলে $u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . . . + u_{n} + . . . .$ কে বাস্তব সংখ্যার একটি অসীম ধারা বলা হয়। এই ধারাটির $n$ তম পদ $u_{n}$ ।

Content added By

Genius

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \sqrt{3}} +$ _______ ধারাটির অষ্টম পদ নিচের কোনটি?

27 \sqrt{3}

\frac{1}{27 \sqrt{3}}

\frac{1}{81}

এসএসসি উচ্চতর গণিত কুমিল্লা বোর্ড - 2026 অসীম ধারা

2.
$1 + \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{4}{3} + \frac{8}{3 \sqrt{3}} + \frac{16}{9} +$ ______ ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

\sqrt{3} - 2

2 - \sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{2}{\sqrt{3}}

এসএসসি উচ্চতর গণিত অসীম ধারা

তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও

$3 + \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2 \sqrt{2}} +$ _____ একটি অসীম ধারা।

1.
ধারাটির অষ্টম পদ কত?

24 \sqrt{2}

\frac{21}{8 \sqrt{2}}

\frac{3}{8 \sqrt{2}}

\frac{3}{16}

এসএসসি উচ্চতর গণিত অসীম ধারা

তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও

$2 + a \sqrt{2} + a^{2} + \frac{a^{3}}{\sqrt{2}} +$ _____ + $\infty$

1.
ধারাটির n-তম পদ কত?

a^{n} \sqrt{2}

{(\frac{a}{\sqrt{2}})}^{n - 1}

2 {(\frac{a}{\sqrt{2}})}^{n - 1}

\frac{a^{n - 1}}{{\sqrt{2}}^{n}}

এসএসসি উচ্চতর গণিত অসীম ধারা

তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও

$5 - \frac{5}{7} + \frac{5}{7^{2}} - \frac{5}{7^{3}} +$ _____ একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।

1.
ধারাটির 10 তম পদ কত?

\frac{5}{7^{9}}

\frac{5}{7^{10}}

- \frac{5}{7^{11}}

- \frac{5}{7^{9}}

এসএসসি উচ্চতর গণিত অসীম ধারা

প্রশ্ন তৈরি করুন View All (62)

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

$u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . . . . + u_{n} + . . . .$ অনন্ত ধারার

১ম আংশিক সমষ্টি $S_{1} = u_{1}$

২য় আংশিক সমষ্টি $S_{2} = u_{1} + u_{2}$

৩য় আংশিক সমষ্টি $S_{3} = u_{1} + u_{2} + u_{3}$

n তম আংশিক সমষ্টি $S_{r} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . . + u_{n}$

অর্থাৎ, কোনো অসীম ধারার n তম আংশিক সমষ্টি হচ্ছে ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি।

উদাহরণ ১. প্রদত্ত অসীম ধারা দুইটির আংশিক সমষ্টি নির্ণয় কর।

ক) $1 + 2 + 3 + . . . .$ খ) $1 - 1 + 1 - 1 + . . . . .$

সমাধান:
ক) ধারাটি একটি সমান্তর ধারা কারণ ধারাটির প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অন্তর d = 1।

সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n} = \frac{n}{2} \{2 a + (n - 1) d\} = \frac{n}{2} \{2.1 + (n - 1) . 1\}$
কাজেই $S_{n} = \frac{n}{2} \{2 + n - 1\} = \frac{n (n + 1)}{2}$

উপরের সূত্রে n এর বিভিন্ন মান বসিয়ে পাই,

$S_{10} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$
$S_{1000} = \frac{1000 \times 1001}{2}$ $= 500500$

$S_{100000} = \frac{100000 \times 100001}{2} = 5000050000$

এভাবে, n এর মান যত বড় করা হয়, Sn এর মান তত বড় হয়।

সুতরাং প্রদত্ত অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই ।

খ) $1 - 1 + 1 - 1 + . . . .$ অসীম ধারাটির

১ম আংশিক সমষ্টি $S_{1} = 1$

২য় আংশিক সমষ্টি $S_{2} = 1 - 1 = 0$

৩য় আংশিক সমষ্টি $S_{3} = 1 - 1 + 1 = 1$

৪র্থ আংশিক সমষ্টি $S_{4} = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$

উপরের উদাহরণ থেকে দেখা যায় যে, n বিজোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি $S_{n} = 1$ এবং n জোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি $S_{n} = 0$

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, প্রদত্ত ধারাটির ক্ষেত্রে, এমন কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায় না যাকে ধারাটির সমষ্টি বলা যায়।

Content added By

Genius

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
5 - 5 - 5 - 5 + ____ ধারাটির ১ম $4 n^{2} (n \in ℕ)$ পদের সমষ্টি কত?

-5

এসএসসি উচ্চতর গণিত ঢাকা বোর্ড - 2026 অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

2.
2-2+2-2+... ধারার প্রথম (2n+1) পদের সমষ্টি কত?

-2

এসএসসি উচ্চতর গণিত ময়মনসিংহ বোর্ড - 2024 অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও

$4, \frac{4}{9}, \frac{4}{3}$ ____ 20/9

1.
ধারাটির প্রথম ১টি পদের সমষ্টি নিচের কোনটি?

\frac{160}{27}

\frac{484}{81}

\frac{12}{9}

\frac{20}{9}

এসএসসি উচ্চতর গণিত অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

প্রশ্ন তৈরি করুন View All (3)

অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

10k

$a + a r + a r^{2} + a r^{3} + . . . . . .$ গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।

সুতরাং, ধারাটির n তম পদ $= a r^{n - 1}$ , যেখানে $n \in N$ |

এবার, $r \neq 1$ হলে ধারাটির n তম আংশিক সমষ্টি

$S_{n} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + . . . . . . . . . + a r^{n - 1}$

$S_{n} = a . \frac{r^{n} - 1}{r - 1}$ যখন $r > 1$ এবং $S_{n} = a . \frac{1 - r^{n}}{1 - r},$ যখন $r < 1$

লক্ষ করি:
ক) $|r| < 1$ হলে, অর্থাৎ, $- 1 < r < 1$ হলে, $n$ এর মান বৃদ্ধি করলে ( $n \to \infty$ হলে) $|r^{n}|$ এর মান হ্রাস পায় এবং $n$ এর মান যথেষ্ট বড় করলে $|r^{n}|$ এর মান 0 এর কাছাকাছি হয়। অর্থাৎ $|r^{n}|$ এর প্রান্তীয় মান (Limiting Value) 0 হয়।

ফলে $S_{r}$ এর প্রান্তীয় মান $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r} = \frac{a}{1 - r} - \frac{a r^{n}}{1 - r} = a . \frac{a}{1 - r}$
এক্ষেত্রে, অসীম ধারাটির সমষ্টি $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$
খ) $|r| > 1$ হলে, অর্থাৎ $r > 1$ অথবা $r < - 1$ হলে, n এর মান বৃদ্ধি করলে $|r^{n}|$ এর মান বৃদ্ধি পায় এবং $n$ কে যথেষ্ট বড় করে $|r^{n}|$ এর মান যথেষ্ট বড় করা যায়। সুতরাং এমন কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা S পাওয়া যায় না, যাকে $S_{n}$ এর প্রান্তীয় মান ধরা যায়।

অর্থাৎ, এক্ষেত্রে অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই।

গ) $r = - 1$ হলে, $S_{n}$ এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না। কেননা, $n$ জোড় সংখ্যা হলে ${(- 1)}^{n} = 1$ এবং n বিজোড় সংখ্যা হলে ${(- 1)}^{n} = - 1$ । এক্ষেত্রে ধারাটি হবে, $a - a + a - a + a - a + . . . . . .$ ।

সুতরাং, এই অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই ।

ঘ) $r = 1$ হলেও $S_{n}$ এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না। কেননা তখন ধারাটি হবে $a + a + a + a + a + . . . . .$ (n সংখ্যক)। অর্থাৎ $S_{n} = n a$ যা $n$ এর মান বাড়িয়ে যথেষ্ট বড় করা যায়।

সুতরাং, এই অসীম ধারাটির কোন সমষ্টি নাই ।

$|r| < 1$ অর্থাৎ, $- 1 < r < 1$ হলে, $a + a r + a r^{2} + a r^{3} + . . . . .$ অসীম গুণোত্তর ধারাটির সমষ্টি $S = \frac{a}{1 - r}$ | $r$ এর অন্য সকল মানের জন্য অসীম ধারাটির সমষ্টি থাকবে না।

মন্তব্য: অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টিকে (যদি থাকে) $S_{\infty}$ লিখে প্রকাশ করা হয় এবং একে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বলা হয়। অর্থাৎ, $a + a r + a r^{2} + a r^{3} + . . . . .$ গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ যখন $|r| < 1$ ।

উদাহরণ ২. নিচের অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) নির্ণয় কর।
ক) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{3^{4}} + . . . . . .$

খ) $1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + . . . . .$
গ) $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{2}} + \frac{1}{4} + . . . . . .$
সমাধান:
ক) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{3}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1}{3^{2}} \times \frac{3}{1} = \frac{1}{3} < 1$

$∴$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

খ) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{0.1}{1} = \frac{1}{10} < 1$
$∴$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10}{9} = 1 \frac{1}{9}$

গ) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$
$∴$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = 3.414$ (আসন্ন )

Content added || updated By

Genius

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও

3 + 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ________

1.
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

\frac{3}{11}

\frac{1}{3}

\frac{30}{4}

\frac{10}{3}

এসএসসি উচ্চতর গণিত ময়মনসিংহ বোর্ড - 2026 অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

1.
r সাধারণ অনুপাত হলে নিচের কোন শর্তে গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকবে?

- 1 < r \leq 1

- 1 \leq r < 1

- 1 < r < 1

- 1 \leq r \leq 1

এসএসসি উচ্চতর গণিত দিনাজপুর বোর্ড - 2026 অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

2.
1 + 0.1 + 0.01 + ______ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

\frac{10}{9}

\frac{11}{10}

- \frac{11}{10}

- \frac{9}{10}

এসএসসি উচ্চতর গণিত কুমিল্লা বোর্ড - 2026 অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও

$5 - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{25} +$ _____ একটি অনন্ত ধারা।

1.
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

\frac{1}{6}

\frac{1}{4}

\frac{25}{6}

\frac{25}{4}

এসএসসি উচ্চতর গণিত যশোর বোর্ড - 2026 অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও

$\frac{1}{(4 x - 1)} + \frac{1}{{(4 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(4 x - 1)}^{3}} +$ ________

1.
x = 1 হলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

\frac{13}{27}

\frac{1}{4}

এসএসসি উচ্চতর গণিত সিলেট বোর্ড - 2026 অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

প্রশ্ন তৈরি করুন View All (52)

ধারা

অসীম ধারা

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \sqrt{3}} +$ _______ ধারাটির অষ্টম পদ নিচের কোনটি?

2.
$1 + \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{4}{3} + \frac{8}{3 \sqrt{3}} + \frac{16}{9} +$ ______ ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

1.
ধারাটির অষ্টম পদ কত?

1.
ধারাটির n-তম পদ কত?

1.
ধারাটির 10 তম পদ কত?

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
5 - 5 - 5 - 5 + ____ ধারাটির ১ম $4 n^{2} (n \in ℕ)$ পদের সমষ্টি কত?

2.
2-2+2-2+... ধারার প্রথম (2n+1) পদের সমষ্টি কত?

1.
ধারাটির প্রথম ১টি পদের সমষ্টি নিচের কোনটি?

অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

1.
r সাধারণ অনুপাত হলে নিচের কোন শর্তে গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকবে?

2.
1 + 0.1 + 0.01 + ______ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

1.
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

1.
x = 1 হলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

অসীম ধারা

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

All Notifications

Promotion

Hi, আমি SATT AI!