সংযোগ বিধির প্রতিজ্ঞা দুইটির যাচাইকরন

সেট ও ফাংশন - উচ্চতর গণিত - এসএসসি | NCTB BOOK

804

নিচের বামের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু $A \cup (B \cup C)$ এবং $(A \cup B) \cup C$ উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ । নিচের ডানের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু $A \cap (B \cap C)$ এবং $(A \cap B) \cap C$ উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ ।

উপরে ভেনচিত্রের সাহায্যে যাচাই করা হয়েছে। এবার সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।

মনে করি এবং ।

তাহলে,

এবং $A \cup (B \cup C) = {a, b, c, d} \cup {b, c, d, f, g} = {a, b, c, d, f, g}$ ।

আবার, $A \cup B = {a, b, c, d} \cup {b, c, f} = {a, b, c, d, f}$

এবং $(A \cup B) \cup C = {a, b, c, d, f} \cup {c, d, g} = {a, b, c, d, f, g}$ ।

সুতরাং এক্ষেত্রে $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ ।

আবার, $B \cap C = {b, c, f} \cap {c, d, g} = {c}$

এবং $A \cap (B \cap C) = {a, b, c, d} \cap {c} = {c}$ ।

আবার, $A \cap B = {a, b, c, d} \cap {b, c, f} = {b, c}$

এবং $(A \cap B) \cap C = {b, c} \cap {c, d, g} = {c}$ ।

সুতরাং এক্ষেত্রে $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$

দ্রষ্টব্য: সেটের সংযোগ ও ছেদ প্রক্রিয়া দুইটির প্রতিটি অপরটির প্রেক্ষিতে বন্টন নিয়ম মেনে চলে।

প্রতিজ্ঞা ১ (ডি মরগ্যানের সূত্র): সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B এর জন্য

ক) $(A \cup B)' = A' \cap B'$ খ) $(A \cap B)' = A' \cup B'$

প্রমাণ: ( কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)

ক) মনে করি, $x \in (A \cup B)'$ । তাহলে, $x \notin A \cup B$ |

$\Rightarrow x \notin A$ এবং $x \notin B$ $\Rightarrow x \in A'$ এবং $x \in B' \Rightarrow x \in A' \cap B'$

$∴ (A \cup B)' \subseteq A' \cap B'$

আবার মনে করি, $x \in A' \cap B'$ । তাহলে, $x \in A'$ এবং $x \in B'$

$\Rightarrow x \notin A$ এবং $x \notin B \Rightarrow x \notin A \cup B \Rightarrow x \in (A \cup B)'$

$∴ A' \cap B' = (A \cup B)'$

সুতরাং $(A \cup B)' = A' \cap B'$ ।

প্রতিজ্ঞা ২. সার্বিক সেট $U$ এর যেকোনো উপসেট $A$ ও $B$ এর জন্য $A \ B = A \cap B'$

প্রমাণ: মনে করি, $x \in A \ B$ । তাহলে, $x \in A$ এবং $x \in B$ ।

$\Rightarrow x \in A$ এবং $x \in B' \Rightarrow x \in A \cap B'$

$∴ A \ B \subseteq A \cap B'$ ।

আবার মনে করি, $x \in A \cap B'$ । তাহলে, $x \in A$ এবং $x \in B'$ ।

$\Rightarrow x \in A$ এবং $x \notin B \Rightarrow x \in A \ B$

$∴ A \cap B' \subseteq A \ B$

সুতরাং, $A \ B = A \cap B'$

প্ৰতিজ্ঞা ৩. যেকোনো সেট $A, B, C$ এর জন্য

ক) $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$

খ) $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$

প্রমাণ:(কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)

ক) সংজ্ঞানুসারে, $A \times (B \cap C)$

$= {(x, y) : x \in A, x \in B$ এবং $y \in C}$

$= {(x, y) : (x, y) \in A \times B$ এবং $(x, y) \in A \times C}$

$∴ A \times (B \cap C) \subseteq (A \times B) \cap (A \times C)$

আবার, $(A \times B) \cap (A \times C)$

$= {(x, y) : (x, y) \in A \times B$ এবং $(x, y) \in A \times C}$

$= {(x, y) : x \in A, y \in B$ এবং $x \in A, y \in C$ $}$

$∴ (A \times B) \cap (A \times C) \subseteq A \times (B \cap C)$

সুতরাং, $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$ ।

Content added || updated By

Genius

বিনিময় বিধির প্রতিজ্ঞা দুইটির যাচাইকরন

সংযোগ বিধির প্রতিজ্ঞা দুইটির যাচাইকরন

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

সংযোগ বিধির প্রতিজ্ঞা দুইটির যাচাইকরন

All Notifications

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!