এখানে প্রত্যেক ক্ষেত্রে সার্বিক সেট এবং সেটগুলো এর উপসেট।
ক) বিনিময় বিধি
(১) (২)
খ) সংযোগ বিধি
(১) (২)
গ) বন্টন বিধি
(১) (২) An (BUC) = (AB) U (ANC)
ঘ) ডি মরগ্যানের সূত্র
(১) (২)
ঙ) অন্যান্য সূত্র
(১) (২)
(৩) (৪)
(৫) (৬)
(৭) (৮)
(৯)
নিচের বামের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু এবং উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে । নিচের ডানের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু এবং উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে |
উপরে ভেনচিত্রের সাহায্যে যাচাই করা হয়েছে। এবার সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।
মনে করি A = {1,2,4} এবং B = {2, 3, 5} দুইটি সেট।
তাহলে, ।
আবার, ।
সুতরাং এক্ষেত্রে
অন্য দিকে, এবং ।
সুতরাং এক্ষেত্রে
নিচের বামের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু এবং উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে । নিচের ডানের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু এবং উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে ।
উপরে ভেনচিত্রের সাহায্যে যাচাই করা হয়েছে। এবার সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।
মনে করি এবং ।
তাহলে,
এবং ।
আবার,
এবং ।
সুতরাং এক্ষেত্রে ।
আবার,
এবং ।
আবার,
এবং।
সুতরাং এক্ষেত্রে
দ্রষ্টব্য: সেটের সংযোগ ও ছেদ প্রক্রিয়া দুইটির প্রতিটি অপরটির প্রেক্ষিতে বন্টন নিয়ম মেনে চলে।
প্রতিজ্ঞা ১ (ডি মরগ্যানের সূত্র): সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B এর জন্য
ক) খ)
প্রমাণ: ( কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)
ক) মনে করি,। তাহলে, |
এবং এবং
আবার মনে করি,। তাহলে, এবং
এবং
সুতরাং ।
প্রতিজ্ঞা ২. সার্বিক সেট এর যেকোনো উপসেট ও এর জন্য
প্রমাণ: মনে করি, । তাহলে, এবং ।
এবং
।
আবার মনে করি, । তাহলে, এবং ।
এবং
সুতরাং,
প্ৰতিজ্ঞা ৩. যেকোনো সেট এর জন্য
ক)
খ)
প্রমাণ:(কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)
ক) সংজ্ঞানুসারে,
এবং
এবং
আবার,
এবং
এবং
সুতরাং, ।
Read more
