ক একা ১২ দিনে করে= ১ টি কাজ

$\therefore$ক একা ১ দিনে করে = $\frac{১}{১২}$অংশ কাজ

আবার, খ একা ২০ দিনে করে = ১টি কাজ

$\therefore$খ একা ১ দিনে করে = $\frac{১}{২০}$ অংশ কাজ

$\therefore$ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে = $\frac{১}{১২}+\frac{১}{২০}=\frac{৫+৩}{৬০}=\frac{৮}{৬০}=\frac{২}{১৫}$ অংশ কাজ

অর্থ্যাৎ তারা একত্রে  $\frac{২}{১৫}$অংশ কাজ করে = ১ দিনে

$\therefore$তারা একত্রে ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = $\frac{১৫}{২}=৭\frac{১}{২}$দিনে

$$\begin{gathered} 4x^2+12x+9 \\ ={\left(2x\right)}^2+2\times 2x\times 3+{\left(3\right)}^2 \\ ={(2x+3)}^2 \\ =(2x+3) (2x+3) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Given that, {(x+\frac{1}{x})}^2={(x-\frac{1}{x})}^2+4\times x\times \frac{1}{x} \\ =5^2+4 \\ =25+4 \\ =29 \end{gathered}$$

মনে করি, ছাত্রছাত্রী আছে ক জন

প্রশ্নমতে, ক(ক+৩০০) = ৭০$\times ১০০$

$$\begin{gathered} ={ক}^{২}+৩০ক-৭০০০=০ \\ ={ক}^{২}+১০০ক-৭০ক-৭০০০=০ \\ =ক(ক+১০০) - ৭০ (ক+১০০)=০ \\ =(ক+১০০) (ক-৭০)=০ \end{gathered}$$

এখন, ক+১০০=০

ক=-১০০ গ্রহণযোগ্য নয়

আবার, ক-৭০=০

ক=৭০

অর্থ্যাৎ ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা ৭০ জন।

মনে করি, ক্রয়মূল্য = ক টাকা

 প্রশ্নমতে,  ২(ক-৩৬)=৭২-ক

=২ক-৭২=৭২-ক

=৩ক=১৪৪

$\therefore$ক = ৪৮

$$\begin{gathered} Given that, \frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{a+b}{x-a-b} \\ =\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{a}{x-a-b}+\frac{b}{x-a-b} \\ =\frac{a}{x-a}-\frac{a}{x-a-b}=\frac{b}{x-a-b}-\frac{b}{x-a-b} \\ =\frac{a(x-a-b)-a(x-a)}{(x-a) (x-a-b)}=\frac{b(x-b) -b(x-a-b\_}{(x-b) (x-a-b)} \\ =\frac{ax-a^2-ab-ax+a^2}{(x-a) (x-a-b)}=\frac{bx-b^2-bx-ab+b^2}{(x-b) (x-a-b)} \\ =\frac{-ab}{x-a}=\frac{ab}{x-b} \\ =\frac{-1}{x-a}=\frac{1}{x-b} \\ =x-a=-x+b \\ =2x=a+b \\ \therefore x=\frac{a+b}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Given that, a=\sqrt{5}+\sqrt{3} \\ =\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \\ =\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} \\ =\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2} \\ =\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} \\ =\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} \\ \therefore \frac{2}{a}=\sqrt{5}+\sqrt{3} \\ Now, a+\frac{2}{a}=\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}=2\sqrt{5} \\ \therefore a^3+\frac{8}{a^3}={\left(a\right)}^3+{\left(\frac{2}{a}\right)}^3 ={(a+\frac{2}{a})}^3-3\times a\times \frac{2}{a}(a+\frac{2}{a}) \\ ={\left(2\sqrt{5}\right)}^3-3\times 2\times 2\sqrt{5} \\ =8\times 5\times \sqrt{5}-12\sqrt{5} \\ =40\sqrt{5}-12\sqrt{5} \\ =28\sqrt{5} \end{gathered}$$

মনে করি, দৈর্ঘ্য ক মিটার এবং প্রস্থ খ মিটার

$\therefore$ক্ষেত্রফল = কখ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, (ক-৫)(খ+৩)=কখ-৯

=কখ+৩ক-৫খ-১৫=কখ-৯

=৩ক-৫খ=৬………..(১)

আবার, (ক+৩) (খ+২) = কখ+৬৭

=কখ+২ক+৩খ+৬=কখ+৬৭

=২ক+৩খ=৬১……..(২)

এখন, (১) $\times$ ২ - (২) $\times$৩ করে পাই

$$\begin{gathered} \frac{৬ক-১০খ=১২ \\ ৬ক+৯খ=১৮৩}{-১৯খ=-১৭১} \\ \therefore চ=\frac{-১৭১}{-১৯}=৯ \end{gathered}$$

এখন  খ এর মান (১) নং সমীকরণে বসাই,

৩ক-(৫$\times$৯)=৬

=৩ক-৪৫=৬

=৩ত=৫১

$\therefore$ক=১৭

নির্ণেয় দৈর্ঘ্য ১৭ মিটার এবং প্রস্থ ৯ মিটার।

আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার ; দৈর্ঘ্য = (ক+৩০) মিটার

আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(ক+ক+৩০)=৪ক+৬০

শর্তমতে, ৪ক+৬০=১৪০

=৪ক=৮০

$\therefore$ক=২০

$\therefore$ক্ষেত্রটির প্রস্থ = ২০ মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ২০+৩০=৫০ মিটার।

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে  ৪% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০-৪=৯৬ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৯৬ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

$\therefore$বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = $\frac{১০০}{৯৬}$ = $\frac{২৫}{২৪}$ টাকা

$\therefore$১২ টি লেবুর ক্রয়মূল্য = $\frac{২৫}{২৪}$ টাকা

৪৪% লাভে বিক্রয়মূল্য  = ১৪৪ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১৪৪ টাকা

$\therefore$ক্রয়মূল্য $\frac{২৫}{২৪}$ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = $\frac{১৪৪\times ২৫}{২৪\times ১০০}=\frac{৩}{২}$ টাকা

$\frac{৩}{২}$ টাকায় বিক্রি করতে হবে = ১২ টি লেবু

$\therefore$১ টাকায় বিক্রি করতে হবে = $\frac{১২\times ২}{৩}=৮$ টি লেবু।

মনে করি, পণ্যটির দাম ক টাকা

প্রশ্নমতে, ক এর ১২০%-ক এর ৯০% = ১৩৫ টাকা

$$\begin{gathered} =\frac{১২০ক}{১০০}-\frac{৯০ক}{১০০}=১৩৫ \\ =১২০ক-৯০ক=১৩৫০০ \\ =৩০ক=১৩৫০০ \\ \therefore ক=৪৫০ \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Given that, (x+5) (x-5) = 24 \\ =x^2-5^2=24 \\ =x^2=49 \\ \therefore x=\sqrt{49}=7 \end{gathered}$$

১২ টির ক্রয়মূল্য  = ১০ টাকা

$\therefore$১টির ক্রয়মূল্য = $\frac{১০}{১২}=\frac{৫}{৬}$ টাকা

আবার, ৮ টির বিক্রয়মূল্য = ১০ টাকা

$\therefore$১ টির বিক্রয়মূল্য = $\frac{১০}{৮}=\frac{৫}{৪}$ টাকা

$\therefore$লাভ = $\frac{৫}{৪}-\frac{৫}{৬}=\frac{১৫-১০}{১২}=\frac{৫}{১২}$ টাকা

$\frac{৫}{৬}$ টাকায় লাভ হয় = $\frac{৫}{১২}$ টাকা

$\therefore$১০০ টাকায় লাভ হয় = $\frac{৫}{১২}\times \frac{৬}{৫}\times ১০০=৫০$ টাকা বা ৫০%।

‘ক’ ও ‘খ’ ১২ দিনে করে= ১ টি কাজ

$\therefore$ক ও খ ১ দিনে করে = $\frac{১}{১২}$ অংশ কাজ

‘ক’ ২০ দিনে করে = ১ টি কাজ

$\therefore$ক ১ দিনে করে = $\frac{১}{২০}$ অংশ কাজ

$\therefore$খ ১ দিনে করে = $\frac{১}{১২}-\frac{১}{২0}=\frac{৫-৩}{৬০}=\frac{১}{৩০}$ অংশ কাজ।

$\therefore$ সম্পূর্ণ কাজটি করতে খ এর সময় লাগবে ৩০ দিন।

সোনার বারের দৈর্ঘ্য = ৮.৮ সেন্টিমিটার

$\therefore$ প্রস্থ ৬.৪; উচ্চতা ২.৫; আয়তন = ৮.৮$\times$৬.৪$\times$২.৫=১৪০.৮ ঘন সেন্টিমিটার।

১ ঘনসেন্টিমিটার পানির ওজন = ১ গ্রাম

$\therefore$১৪০.৮ ঘন সেন্টিমিটার পানির ওজন = ১৪০.৮$\times$১=১৪০.৮ গ্রাম

সোনার বারের ওজন = পানির ওজন ১৯.৩ গ্রাম

= ১৪০.৮$\times$১৯.৩

=২৭১৭.৪৪ গ্রাম।