১৫ দিনে কাজ করতে পারে = ১৪ জনে
$$\begin{gathered} \therefore ১ \text{'}\text{'} \text{'}\text{'} \text{'}\text{'} = \left(১৪\times ১৫\right) \text{'}\text{'} \\ \therefore ১০ \text{'}\text{'} \text{'}\text{'} \text{'}\text{'} = \frac{১৪\times ১৫}{১০} \text{'}\text{'} \\ =২১ জনে \end{gathered}$$

দেয়া আছে, $x^4-6x^2+1$

$$\begin{gathered} ={\left(x^2\right)}^2-2\times x^2\times 1+1^2-4x^2 \\ =(x^2-1)-{\left(2x\right)}^2 =(x^2-1+2x)(x^2-1-2x) \\ =\; (x^2+2x-1\left)\right(x^2-2x-1) \end{gathered}$$

দেওয়া আছে,

রম্বসের পরিসীমা = ১৮০ সে.মি.

∴ “         একবাহু   = $\frac{১৮০}{৪}$ = ৪৫ সে.মি

যেহেতু রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, সেহেতু অপর কর্ণের অর্ধেক এর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{৪{৫}^{২}-২{৭}^{২}}=\sqrt{১২৯৬} = ৩৬$

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য $= ২ \times ৩৬ = ৭২$ সে.মি.

∴  ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}\times$ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল

$=\frac{১}{২}\times ৫৪ \times ৭২$

= ১৯৪৪ বর্গ সে.মি

দেওয়া আছে, $2x-\frac{2}{x}=3$

$8\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)={\left(2x\right)}^3-{\left(\frac{2}{x}\right)}^3={\left(2x-\frac{2}{x}\right)}^3+2.2x.\frac{2}{x}\left(2x-\frac{1}{x}\right)$

$= 3^3 + 12 . 3$

=27+36

=63

মনে করি, ক সংখ্যক কলম কিনেছিল

প্রশ্নমতে, {২৪০/ (ক + ১)} = (২৪০/ক) - ১

= > {২৪০/(ক + ১)} = (২৪০ - ক)/ক

= > ২৪০ক = ২৪০ক - ক² + ২৪০ - ক

= > ক² + ক - ২৪০ = ০

= > ক² + ১৬ - ১৫ক - ২৪০ = ০

= > ক(ক + ১৬) - ১৫(ক + ১৬) = ০

= > (ক + ১৬) (ক - ১৫) = ০

∴ক + ১৬ = ০

= > ক = - ১৬ গ্রহণযােগ্য নয়।

অথবা, ক - ১৫ = ০

= > ক = ১৫ গ্রহণযােগ্য

∴শাহিক ১৫টি কলম কিনেছিল।

দেওয়া আছে, a + b + c = 0

⇒ a + b = - c

⇒ a + c = - b

⇒ b + c = - a

∴ প্রদত্ত রাশি $=\frac{{\left(b+c\right)}^2}{3bc}+\frac{{\left(c+a\right)}^2}{3ca}+\frac{{\left(a+b\right)}^2}{3ab}$

$=\frac{{\left(a-\right)}^2}{3bc}+\frac{{\left(-b\right)}^2}{3ca}+\frac{{\left(-c\right)}^2}{3ab}$

$=\frac{a^2}{3bc}+\frac{b^2}{3ca}+\frac{c^2}{3ab}$

$=\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}$

$=\frac{{\left(a+b+c\right)}^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{3abc}$

$=\frac{{\left(0\right)}^3-3.\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{3abc}$

$=\frac{0+3abc}{3abc}$

$=\frac{3abc}{3abc}$

$=1$

দেওয়া আছে, $a = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ [ ব্যস্তকরণ ]

$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}$

$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}$

$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}$

∴ $\frac{1}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

∴ $a+\frac{1}{a}=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2} = 2\sqrt{3}$

এখন, $a^3+\frac{1}{a^3}={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^3-3a. \frac{1}{a}\left(a+\frac{1}{a}\right)$

$={\left(2\sqrt{3}\right)}^3-3.2\sqrt{2}$

$={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-.2\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$

$= 4.3.2\sqrt{2}-6\sqrt{3}$

$=24\sqrt{2}-6\sqrt{3}$

$=18\sqrt{3}$

মনে করি, ক সংখ্যক কলম কিনেছিল

প্রশ্নমতে, {২৪০/ (ক + ১)} = (২৪০/ক) - ১

= > {২৪০/(ক + ১)} = (২৪০ - ক)/ক

= > ২৪০ক = ২৪০ক - ক² + ২৪০ - ক

= > ক² + ক - ২৪০ = ০

= > ক² + ১৬ - ১৫ক - ২৪০ = ০

= > ক(ক + ১৬) - ১৫(ক + ১৬) = ০

= > (ক + ১৬) (ক - ১৫) = ০

∴ক + ১৬ = ০

= > ক = - ১৬ গ্রহণযােগ্য নয়।

অথবা, ক - ১৫ = ০

= > ক = ১৫ গ্রহণযােগ্য

∴শাহিক ১৫টি কলম কিনেছিল।

দেওয়া আছে,

রম্বসের পরিসীমা = ১৮০ সে.মি.

∴ “         একবাহু   = $\frac{১৮০}{৪}$ = ৪৫ সে.মি

যেহেতু রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, সেহেতু অপর কর্ণের অর্ধেক এর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{৪{৫}^{২}-২{৭}^{২}}=\sqrt{১২৯৬} = ৩৬$

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য $= ২ \times ৩৬ = ৭২$ সে.মি.

∴  ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}\times$ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল

$=\frac{১}{২}\times ৫৪ \times ৭২$

= ১৯৪৪ বর্গ সে.মি

বাগানের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 300 মিটার

বাগানের ক্ষেত্রফল = 300² বর্গমিটার

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = 300+ 4 + 4 = 308 মিটার

রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = 308² বর্গমিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল = 308² – 300² বর্গমিটার

= (308 +300)(308 – 300) বর্গমিটার

= 608 $\times$ 8 বর্গমিটার

= 4864 বর্গমিটার

উত্তর: 4864 বর্গমিটার

$\frac{x}{2}+3=\frac{x}{3}+4$

বা, $\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=4-3$

বা, $\frac{3x-2x}{6}=1$