নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

মূলদ সংখ্যা হলো সেইসব সংখ্যা যাদেরকে \(p/q\) আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে \(p\) ও \(q\) পূর্ণসংখ্যা এবং \(q \ne 0\)। মূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তার হয় সসীম অথবা আবৃত্ত (পুনরাবৃত্ত)। যে সংখ্যাগুলোকে \(p/q\) আকারে প্রকাশ করা যায় না, সেগুলোকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলে। অমূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তার অসীম এবং অনাবৃত্ত হয়।

কোনো সংখ্যা মূলদ হতে হলে তা পূর্ণবর্গ, পূর্ণঘন বা অনুরূপ পূর্ণ ঘাতের মূল হওয়া প্রয়োজন। যেমন, \(\sqrt{4} = 2\) একটি মূলদ সংখ্যা, কিন্তু \(\sqrt{2}\) একটি অমূলদ সংখ্যা। একটি সংখ্যাকে \(n\)তম মূলের মাধ্যমে প্রকাশ করা হলে, সেটি মূলদ হবে যদি মূলের ভিতরের সংখ্যাটি কোনো পূর্ণসংখ্যার \(n\)তম ঘাত হয়।

এখন, প্রদত্ত অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

১. \(\mroot{\text{২ ৪ ৩}}{\text{২}}\)

এখানে, বর্গমূলের ভিতরে আছে ২ ৪ ৩ (243)।

আমরা জানি,

    
• \(15^2 = 225\)
    
• \(16^2 = 256\)

যেহেতু ২ ৪ ৩ কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ নয়, তাই \(\mroot{\text{২ ৪ ৩}}{\text{২}}\) একটি অমূলদ সংখ্যা।

২. \(\mroot{\text{৩ ৪ ৩}}{\text{৩}}\)

এখানে, ঘনমূলের ভিতরে আছে ৩ ৪ ৩ (343)।

আমরা জানি,

    
• \(7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343\)

সুতরাং, \(\mroot{\text{৩ ৪ ৩}}{\text{৩}} = 7\)। যেহেতু \(7\) একটি পূর্ণসংখ্যা এবং এটিকে \(7/1\) আকারে প্রকাশ করা যায়, এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

৩. \(\mroot{\text{৩ ৯ ২}}{\text{৩}}\)

এখানে, ঘনমূলের ভিতরে আছে ৩ ৯ ২ (392)।

আমরা জানি,

    
• \(7^3 = 343\)
    
• \(8^3 = 512\)

যেহেতু ৩ ৯ ২ কোনো পূর্ণসংখ্যার ঘন (cube) নয়, তাই \(\mroot{\text{৩ ৯ ২}}{\text{৩}}\) একটি অমূলদ সংখ্যা।

৪. \(\mroot{\text{৬ ৭ ৬}}{\text{৩}}\)

এখানে, ঘনমূলের ভিতরে আছে ৬ ৭ ৬ (676)।

আমরা জানি,

    
• \(8^3 = 512\)
    
• \(9^3 = 729\)

যেহেতু ৬ ৭ ৬ কোনো পূর্ণসংখ্যার ঘন নয়, তাই \(\mroot{\text{৬ ৭ ৬}}{\text{৩}}\) একটি অমূলদ সংখ্যা।

অতএব, একমাত্র \(\mroot{\text{৩ ৪ ৩}}{\text{৩}}\) হলো মূলদ সংখ্যা।