যদি $0 < a < b < c < d$ হয়, তাহলে নিচের কোনটি সর্বোচ্চ?

বিস্তারিত সমাধান:

দেওয়া আছে, \(0 < a < b < c < d\)। এর অর্থ হলো \(a, b, c, d\) চারটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং এদের মান ক্রমানুসারে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

একটি ভগ্নাংশের মান সর্বোচ্চ করার জন্য, তার লব (numerator) সর্বোচ্চ এবং হর (denominator) সর্বনিম্ন হওয়া প্রয়োজন, যখন লব ও হর উভয়ই ধনাত্মক হয়।

প্রদত্ত শর্ত \(0 < a < b < c < d\) থেকে আমরা বিভিন্ন রাশির যোগফল তুলনা করতে পারি:

    
• সবচেয়ে ছোট দুটি সংখ্যার যোগফল হলো \(a+b\)।
    
• সবচেয়ে বড় দুটি সংখ্যার যোগফল হলো \(c+d\)।

আমরা জানি যে,

    
• \(a < c\) এবং \(b < d\), তাই \(a+b < c+d\)।
    
• \(a < b\) এবং \(c < d\) এর কারণে, \(a+b\) হলো প্রদত্ত চারটি সংখ্যার মধ্যে থেকে যেকোনো দুটি সংখ্যার সম্ভাব্য সর্বনিম্ন যোগফল। উদাহরণস্বরূপ:         
              
  • \(a+b < a+c\) (কারণ \(b < c\))
              
  • \(a+b < a+d\) (কারণ \(b < d\))
              
  • \(a+b < b+c\) (কারণ \(a < c\))
              
  • \(a+b < b+d\) (কারণ \(a < d\))
          
          সুতরাং, \(a+b\) হলো সম্ভাব্য সকল যোগফলের মধ্যে সর্বনিম্ন।     
    
• একইভাবে, \(c+d\) হলো প্রদত্ত চারটি সংখ্যার মধ্যে থেকে যেকোনো দুটি সংখ্যার সম্ভাব্য সর্বোচ্চ যোগফল। উদাহরণস্বরূপ:         
              
  • \(c+d > b+d\) (কারণ \(c > b\))
              
  • \(c+d > a+d\) (কারণ \(c > a\))
              
  • \(c+d > b+c\) (কারণ \(d > b\))
              
  • \(c+d > a+c\) (কারণ \(d > a\))
          
          সুতরাং, \(c+d\) হলো সম্ভাব্য সকল যোগফলের মধ্যে সর্বোচ্চ।     

এখন অপশনগুলো বিশ্লেষণ করি:

    
1. \(\frac{a+d}{b+c}\): এখানে লব এবং হর উভয়ই মধ্যম মানের যোগফল। এদের সম্পর্ক সুনির্দিষ্ট নয় (উদাহরণস্বরূপ, \(a=1, b=2, c=3, d=4\) হলে মান 1 হয়; আবার \(a=1, b=3, c=4, d=5\) হলে মান \(\frac{6}{7} < 1\) হয়)।
    
2. \(\frac{b+c}{a+d}\): এটি প্রথম অপশনের বিপরীত। এর মানও সুনির্দিষ্টভাবে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন নয়।
    
3. \(\frac{a+b}{c+d}\): এখানে লব হলো সর্বনিম্ন যোগফল (\(a+b\)) এবং হর হলো সর্বোচ্চ যোগফল (\(c+d\))। যেহেতু \(a+b < c+d\), এই ভগ্নাংশের মান সর্বদা 1 এর চেয়ে ছোট হবে। এটি সর্বনিম্ন মান দেবে।
    
4. \(\frac{c+d}{a+b}\): এখানে লব হলো সর্বোচ্চ যোগফল (\(c+d\)) এবং হর হলো সর্বনিম্ন যোগফল (\(a+b\))। একটি ভগ্নাংশের মান সর্বোচ্চ পেতে হলে তার লবকে সর্বোচ্চ এবং হরকে সর্বনিম্ন হতে হবে। এই অপশনটি সেই শর্ত পূরণ করে। সুতরাং, এর মানই সর্বোচ্চ হবে। যেহেতু \(c+d > a+b\), এই ভগ্নাংশের মান সর্বদা 1 এর চেয়ে বড় হবে।

উপসংহার: সর্বোচ্চ লব (c+d) এবং সর্বনিম্ন হর (a+b) সমন্বিত ভগ্নাংশটিই সর্বোচ্চ মান দেবে।

অতএব, \(\frac{c+d}{a+b}\) সর্বোচ্চ।