যদি x+y=6 হয় তবে $x^2{y}^4$ এর বৃহত্তম মান নির্ণয় কর।

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত:

    
• \(x+y=6\)
    
• \(x^2y^4\) এর বৃহত্তম মান নির্ণয় করতে হবে।

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean) অসমতা ব্যবহার করতে পারি। AM-GM অসমতা অনুযায়ী, কয়েকটি ধনাত্মক সংখ্যার পাটিগণিতীয় গড় তাদের জ্যামিতিক গড়ের চেয়ে বড় বা সমান হয়। অর্থাৎ, যদি \(a_1, a_2, ..., a_n\) ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তবে

\[ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n} \]

সমানতা তখনই ঘটে যখন \(a_1 = a_2 = ... = a_n\) হয়।

আমরা \(x^2y^4\) এর বৃহত্তম মান নির্ণয় করতে চাই। লক্ষ্য করুন, পাওয়ারে \(x\) এর জন্য 2 এবং \(y\) এর জন্য 4 আছে। তাই আমরা এমনভাবে পদগুলো নিব যেন তাদের যোগফল একটি ধ্রুবক হয় এবং গুণফল \(x^2y^4\) এর সমানুপাতিক হয়।

আমরা নিম্নলিখিত 6টি পদের AM-GM অসমতা প্রয়োগ করব:

\( \frac{x}{2}, \frac{x}{2}, \frac{y}{4}, \frac{y}{4}, \frac{y}{4}, \frac{y}{4} \)

এই পদগুলোর যোগফল হলো:

\( \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} = x + y \)

যেহেতু \(x+y=6\), পদগুলোর যোগফল 6। এখন AM-GM অসমতা প্রয়োগ করে পাই:

\[ \frac{\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4}}{6} \ge \sqrt[6]{\left(\frac{x}{2}\right) \left(\frac{x}{2}\right) \left(\frac{y}{4}\right) \left(\frac{y}{4}\right) \left(\frac{y}{4}\right) \left(\frac{y}{4}\right)} \]

\[ \frac{x+y}{6} \ge \sqrt[6]{\frac{x^2 y^4}{2^2 \cdot 4^4}} \]

প্রদত্ত মান \(x+y=6\) বসিয়ে:

\[ \frac{6}{6} \ge \sqrt[6]{\frac{x^2 y^4}{4 \cdot 256}} \]

\[ 1 \ge \sqrt[6]{\frac{x^2 y^4}{1024}} \]

উভয় পক্ষকে 6 পাওয়ারে উন্নীত করে পাই:

\[ 1^6 \ge \frac{x^2 y^4}{1024} \]

\[ 1 \ge \frac{x^2 y^4}{1024} \]

\[ x^2 y^4 \le 1024 \]

সুতরাং, \(x^2 y^4\) এর বৃহত্তম মান 1024।

এই বৃহত্তম মান তখনই পাওয়া যায় যখন AM-GM অসমতার শর্তানুসারে সকল পদ সমান হয়, অর্থাৎ:

\[ \frac{x}{2} = \frac{y}{4} \]

\[ 4x = 2y \]

\[ y = 2x \]

এখন \(y=2x\) মানটি \(x+y=6\) সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\[ x + 2x = 6 \]

\[ 3x = 6 \]

\[ x = 2 \]

\(x=2\) হলে, \(y = 2x = 2(2) = 4\)।

\(x=2\) এবং \(y=4\) হলে \(x^2y^4\) এর মান:

\[ (2)^2 (4)^4 = 4 \cdot 256 = 1024 \]

অতএব, \(x^2y^4\) এর বৃহত্তম মান 1024।

💡 শর্টকাট টেকনিক (ক্যালকুলাস ব্যবহার করে):

আমরা \(x+y=6\) থেকে \(x=6-y\) লিখতে পারি।

এখন, \(f(y) = x^2y^4 = (6-y)^2 y^4\) ফাংশনটিকে \(y\) এর সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ করে 0 ধরে সমাধান করলে চরম মান পাওয়া যায়।

\[ f(y) = (36 - 12y + y^2)y^4 = 36y^4 - 12y^5 + y^6 \]

\[ f'(y) = 144y^3 - 60y^4 + 6y^5 \]

\(f'(y) = 0\) ধরে পাই:

\[ 6y^3(24 - 10y + y^2) = 0 \]

যেহেতু \(y=0\) হলে \(x^2y^4 = 0\) হয় যা একটি সর্বনিম্ন মান, তাই আমরা \(y \ne 0\) ধরে নিতে পারি এবং \(6y^3\) দ্বারা ভাগ করতে পারি:

\[ y^2 - 10y + 24 = 0 \]

\[ (y-4)(y-6) = 0 \]

অতএব, \(y=4\) অথবা \(y=6\)।

    
• যদি \(y=4\) হয়, তবে \(x = 6-4 = 2\)। এই ক্ষেত্রে \(x^2y^4 = (2)^2 (4)^4 = 4 \cdot 256 = 1024\)।
    
• যদি \(y=6\) হয়, তবে \(x = 6-6 = 0\)। এই ক্ষেত্রে \(x^2y^4 = (0)^2 (6)^4 = 0\)।

স্পষ্টতই, বৃহত্তম মান হলো 1024।