$f\left(x\right)=3+4x-2x^2$ ফাংশনটির গুরুমান কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো:

\(f(x) = 3 + 4x - 2x^2\)

ফাংশনটিকে একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে লিখলে পাই:

\(f(x) = -2x^2 + 4x + 3\)

এটি একটি দ্বিঘাত ফাংশন (\(ax^2 + bx + c\) আকারের), যেখানে \(a = -2\), \(b = 4\) এবং \(c = 3\)।

যেহেতু \(x^2\) এর সহগ \(a = -2\) যা ঋণাত্মক (\(a < 0\)), তাই এই ফাংশনটির একটি গুরুমান (সর্বোচ্চ মান) থাকবে এবং কোনো লঘুমান (সর্বনিম্ন মান) থাকবে না।

গুরুমান নির্ণয়ের জন্য, আমরা ক্যালকুলাসের পদ্ধতি ব্যবহার করব। প্রথমে ফাংশনটির প্রথম অন্তরক (first derivative) নির্ণয় করব এবং সেটিকে শূন্যের সমান ধরব।

\(f'(x) = \frac{d}{dx}(3 + 4x - 2x^2)\)

\(f'(x) = 0 + 4 - 4x\)

\(f'(x) = 4 - 4x\)

গুরুমান বা লঘুমানের জন্য, প্রথম অন্তরককে শূন্যের সমান ধরতে হবে:

\(f'(x) = 0\)

\(4 - 4x = 0\)

\(4x = 4\)

\(x = 1\)

এখন, \(x = 1\) বিন্দুতে গুরুমান বিদ্যমান কিনা তা যাচাই করার জন্য দ্বিতীয় অন্তরক (second derivative) নির্ণয় করি:

\(f''(x) = \frac{d}{dx}(4 - 4x)\)

\(f''(x) = -4\)

যেহেতু \(f''(x) = -4\) যা শূন্যের চেয়ে ছোট (\(< 0\)) বা ঋণাত্মক, তাই \(x = 1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

এখন \(x = 1\) মানটি মূল ফাংশনে বসিয়ে গুরুমান নির্ণয় করি:

\(f(1) = 3 + 4(1) - 2(1)^2\)

\(f(1) = 3 + 4 - 2(1)\)

\(f(1) = 3 + 4 - 2\)

\(f(1) = 7 - 2\)

\(f(1) = 5\)

সুতরাং, ফাংশনটির গুরুমান হলো 5।

💡 বিকল্প পদ্ধতি (শীর্ষবিন্দু সূত্র):

একটি দ্বিঘাত ফাংশন \(f(x) = ax^2 + bx + c\) এর ক্ষেত্রে, যদি \(a < 0\) হয়, তবে ফাংশনটির একটি গুরুমান (সর্বোচ্চ মান) বিদ্যমান থাকে। এই গুরুমানটি ফাংশনের শীর্ষবিন্দুতে (vertex) পাওয়া যায়।

শীর্ষবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক (\(x\)-coordinate) হলো: \(x = -\frac{b}{2a}\)

এবং গুরুমান (সর্বোচ্চ মান) হলো: \(f\left(-\frac{b}{2a}\right)\) অথবা \(c - \frac{b^2}{4a}\)

আমাদের প্রদত্ত ফাংশনটি \(f(x) = -2x^2 + 4x + 3\)

এখানে \(a = -2\), \(b = 4\), \(c = 3\)।

শীর্ষবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:

\(x = -\frac{4}{2(-2)}\)

\(x = -\frac{4}{-4}\)

\(x = 1\)

এখন \(x = 1\) মানটি ফাংশনে বসিয়ে গুরুমান নির্ণয় করি:

\(f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 3\)

\(f(1) = -2(1) + 4 + 3\)

\(f(1) = -2 + 4 + 3\)

\(f(1) = 5\)

অথবা, সরাসরি গুরুমানের সূত্র \(c - \frac{b^2}{4a}\) ব্যবহার করে:

গুরুমান \( = 3 - \frac{4^2}{4(-2)}\)

\( = 3 - \frac{16}{-8}\)

\( = 3 - (-2)\)

\( = 3 + 2\)

\( = 5\)

সুতরাং, উভয় পদ্ধতিতেই ফাংশনটির গুরুমান 5 পাওয়া যায়।