$f (x) = 3 + 4 x - 2 x^{2}$ ফাংশনটির গুরুমান কত?

Created: 4 months ago | Updated: 6 days ago

Updated: 6 days ago

ক

9
খ

3
গ

7
ঘ

5

131

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো:

$f(x) = 3 + 4x - 2x^2$

ফাংশনটিকে একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজিয়ে লিখলে পাই:

$f(x) = -2x^2 + 4x + 3$

এটি একটি দ্বিঘাত ফাংশন ($ax^2 + bx + c$ আকারের), যেখানে $a = -2$, $b = 4$ এবং $c = 3$।

যেহেতু $x^2$ এর সহগ $a = -2$ যা ঋণাত্মক ($a < 0$), তাই এই ফাংশনটির একটি গুরুমান (সর্বোচ্চ মান) থাকবে এবং কোনো লঘুমান (সর্বনিম্ন মান) থাকবে না।

গুরুমান নির্ণয়ের জন্য, আমরা ক্যালকুলাসের পদ্ধতি ব্যবহার করব। প্রথমে ফাংশনটির প্রথম অন্তরক (first derivative) নির্ণয় করব এবং সেটিকে শূন্যের সমান ধরব।

$f'(x) = \frac{d}{dx}(3 + 4x - 2x^2)$

$f'(x) = 0 + 4 - 4x$

$f'(x) = 4 - 4x$

গুরুমান বা লঘুমানের জন্য, প্রথম অন্তরককে শূন্যের সমান ধরতে হবে:

$f'(x) = 0$

$4 - 4x = 0$

$4x = 4$

$x = 1$

এখন, $x = 1$ বিন্দুতে গুরুমান বিদ্যমান কিনা তা যাচাই করার জন্য দ্বিতীয় অন্তরক (second derivative) নির্ণয় করি:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(4 - 4x)$

$f''(x) = -4$

যেহেতু $f''(x) = -4$ যা শূন্যের চেয়ে ছোট ($< 0$) বা ঋণাত্মক, তাই $x = 1$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

এখন $x = 1$ মানটি মূল ফাংশনে বসিয়ে গুরুমান নির্ণয় করি:

$f(1) = 3 + 4(1) - 2(1)^2$

$f(1) = 3 + 4 - 2(1)$

$f(1) = 3 + 4 - 2$

$f(1) = 7 - 2$

$f(1) = 5$

সুতরাং, ফাংশনটির গুরুমান হলো 5।

💡 বিকল্প পদ্ধতি (শীর্ষবিন্দু সূত্র):

একটি দ্বিঘাত ফাংশন $f(x) = ax^2 + bx + c$ এর ক্ষেত্রে, যদি $a < 0$ হয়, তবে ফাংশনটির একটি গুরুমান (সর্বোচ্চ মান) বিদ্যমান থাকে। এই গুরুমানটি ফাংশনের শীর্ষবিন্দুতে (vertex) পাওয়া যায়।

শীর্ষবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক ($x$-coordinate) হলো: $x = -\frac{b}{2a}$

এবং গুরুমান (সর্বোচ্চ মান) হলো: $f\left(-\frac{b}{2a}\right)$ অথবা $c - \frac{b^2}{4a}$

আমাদের প্রদত্ত ফাংশনটি $f(x) = -2x^2 + 4x + 3$

এখানে $a = -2$, $b = 4$, $c = 3$।

শীর্ষবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:

$x = -\frac{4}{2(-2)}$

$x = -\frac{4}{-4}$

$x = 1$

এখন $x = 1$ মানটি ফাংশনে বসিয়ে গুরুমান নির্ণয় করি:

$f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 3$

$f(1) = -2(1) + 4 + 3$

$f(1) = -2 + 4 + 3$

$f(1) = 5$

অথবা, সরাসরি গুরুমানের সূত্র $c - \frac{b^2}{4a}$ ব্যবহার করে:

গুরুমান $ = 3 - \frac{4^2}{4(-2)}$

$ = 3 - \frac{16}{-8}$

$ = 3 - (-2)$

$ = 3 + 2$

$ = 5$

সুতরাং, উভয় পদ্ধতিতেই ফাংশনটির গুরুমান 5 পাওয়া যায়।

Satt AI

2 months ago

MCQ: 257

Practice

ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান

ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রক্রিয়া, যা কোন ফাংশনের বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম মান নির্ধারণ করে। এটি সাধারণত সর্বাধিক (Maximum) এবং সর্বনিম্ন (Minimum) মান হিসেবে পরিচিত এবং এই প্রক্রিয়াটি গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশলের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহার হয়।

ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের ধাপসমূহ

ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করা হয়:

১. ডেরিভেটিভ বা সুষম বিন্দু নির্ণয়

ফাংশন $ f(x) $ এর প্রথম ডেরিভেটিভ $ f'(x) $ বের করতে হয় এবং এটি $ 0 $ বা অপরিবর্তনীয় পয়েন্টে স্থাপন করতে হয়। এভাবে প্রাপ্ত $ x $-এর মানগুলোকে সুষম বিন্দু (Critical Points) বলা হয়।

\[
f'(x) = 0
\]

এখানে $ f'(x) = 0 $ করে যে সমস্ত $ x $-এর মান পাওয়া যায়, সেগুলিই ফাংশনের সম্ভাব্য সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দু।

২. দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরীক্ষা (Second Derivative Test)

ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ $ f''(x) $ ব্যবহার করে এই সুষম বিন্দুগুলোর প্রকার নির্ধারণ করা হয়।

যদি $ f''(x) > 0 $, তাহলে $ f(x) $ বিন্দুটিতে সর্বনিম্ন মান ধারণ করে।
যদি $ f''(x) < 0 $, তাহলে $ f(x) $ বিন্দুটিতে সর্বাধিক মান ধারণ করে।
যদি $ f''(x) = 0 $, তাহলে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরীক্ষা ফলপ্রসূ না-ও হতে পারে; তখন অন্যান্য পদ্ধতির মাধ্যমে যাচাই করতে হয়।

৩. সীমার মান যাচাই

কোন ফাংশন যদি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকে (যেমন $ a $ থেকে $ b $ পর্যন্ত), তাহলে ঐ সীমার প্রান্তিক বিন্দুগুলোতে (boundary points) সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যাচাই করা প্রয়োজন।

\[
f(a) \text{ এবং } f(b)
\]

প্রাপ্ত মানগুলোর মধ্যে বৃহত্তমটি হবে সর্বাধিক মান এবং ক্ষুদ্রতমটি হবে সর্বনিম্ন মান।

উদাহরণ

ধরা যাক, $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করতে হবে।

১. প্রথম ডেরিভেটিভ নির্ণয়:

\[
f'(x) = 2x - 4
\]

এখন, $ f'(x) = 0 $ বসিয়ে $ x $-এর মান নির্ণয় করা যাক:

\[
2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2
\]

সুতরাং, $ x = 2 $ হলো একটি সুষম বিন্দু।

২. দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরীক্ষা:

\[
f''(x) = 2
\]

যেহেতু $ f''(x) > 0 $, তাই $ x = 2 $ বিন্দুটিতে ফাংশনটি সর্বনিম্ন মান ধারণ করে।

৩. সীমার মান নির্ণয়:

$ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ এর $ x = 2 $ বিন্দুতে মান:

\[
f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
\]

সুতরাং, $ f(x) $-এর সর্বনিম্ন মান হলো $-1$। তবে ফাংশনটি অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত হলে সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করা যাবে না।

সারসংক্ষেপ

ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করতে ডেরিভেটিভ এবং সীমার মান যাচাই গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি, যা প্রকৃত জীবনের বিভিন্ন সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

Notification

$f (x) = 3 + 4 x - 2 x^{2}$ ফাংশনটির গুরুমান কত?

ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের ধাপসমূহ

১. ডেরিভেটিভ বা সুষম বিন্দু নির্ণয়

২. দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরীক্ষা (Second Derivative Test)

৩. সীমার মান যাচাই

উদাহরণ

সারসংক্ষেপ

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

Notification

f(x)=3+4x-2x2 ফাংশনটির গুরুমান কত?

ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের ধাপসমূহ

১. ডেরিভেটিভ বা সুষম বিন্দু নির্ণয়

২. দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরীক্ষা (Second Derivative Test)

৩. সীমার মান যাচাই

উদাহরণ

সারসংক্ষেপ

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

$f (x) = 3 + 4 x - 2 x^{2}$ ফাংশনটির গুরুমান কত?