১৮৫৩৬ জন সৈন্য দলে কমপক্ষে কত জন সৈন্য যোগ হলে তাদের সমান সংখ্যক সারি ও কলামে সাজানো যাবে?

সমান সংখ্যক সারি ও কলামে সৈন্য সাজানোর অর্থ হলো মোট সৈন্য সংখ্যা একটি পূর্ণবর্গ (perfect square) সংখ্যা হতে হবে। আমাদের কাছে ১৮৫৩৬ জন সৈন্য আছে। আমাদের দেখতে হবে এর নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা কোনটি।

প্রথমে, ১৮৫৩৬ এর বর্গমূল নির্ণয় করি:

\(\sqrt{18536}\)

ভাগ প্রক্রিয়ার (division method) মাধ্যমে বর্গমূল নির্ণয় করলে আমরা পাই:

১ এর বর্গ = ১। ১৮ থেকে ১ বিয়োগ করলে থাকে ১৭। পরের সংখ্যা যুগল (৮৫) নামালে হয় ১৭৮৫।
১ এর দ্বিগুণ ২। ২ এর পাশে ৬ বসালে হয় ২৬। ২৬ * ৬ = ১৫৬। ১৭৮৫ - ১৫৬ = ২১৯।
পরের সংখ্যা যুগল (৩৬) নামালে হয় ২১৯৩৬।
১৬ এর দ্বিগুণ ৩২। ৩২ এর পাশে ৭ বসালে হয় ৩২৭। ৩২৭ * ৭ = ২২৮৯। (যা ২১৯৩৬ থেকে বেশি)

সুতরাং, আমরা বুঝতে পারছি যে ১৮৫৩৬ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

আমরা ১৮৫৩৬ এর নিকটবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যা খুঁজে বের করি:

    
• \(136^2 = 136 \times 136 = 18496\)
    
• \(137^2 = 137 \times 137 = 18769\)

১৮৫৩৬ এর চেয়ে বড় এবং এর সবচেয়ে নিকটবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলো ১৮৭৬৯।

অতএব, সৈন্য সংখ্যা ১৮৭৬৯ হলে তাদের সমান সংখ্যক সারি ও কলামে সাজানো যাবে।

কমপক্ষে যতজন সৈন্য যোগ করতে হবে = বর্তমান সৈন্য সংখ্যা এবং পরবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যার পার্থক্য।

প্রয়োজনীয় সৈন্য = \(18769 - 18536\)

= \(233\) জন

অতএব, কমপক্ষে ২৩৩ জন সৈন্য যোগ হলে তাদের সমান সংখ্যক সারি ও কলামে সাজানো যাবে।