A two-digit number is 4 times the sum of its digits. If the number obtained by interchanging the places of the digits is 18 greater than the original number, what is the number?

ধরি, দুই অঙ্কের সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটি হলো \(y\) এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি হলো \(x\)।

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো \(10x + y\)।

প্রথম শর্তানুসারে:

সংখ্যাটি তার অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের 4 গুণ।

\(10x + y = 4(x + y)\)

\(10x + y = 4x + 4y\)

\(10x - 4x = 4y - y\)

\(6x = 3y\)

\(2x = y\) ---(i)

দ্বিতীয় শর্তানুসারে:

অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে নতুন সংখ্যাটি হয় \(10y + x\)।

এই নতুন সংখ্যাটি মূল সংখ্যা অপেক্ষা 18 বেশি।

\(10y + x = (10x + y) + 18\)

\(10y - y + x - 10x = 18\)

\(9y - 9x = 18\)

\(9(y - x) = 18\)

\(y - x = \frac{18}{9}\)

\(y - x = 2\) ---(ii)

এখন, সমীকরণ (i) থেকে \(y = 2x\) মানটি সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই:

\(2x - x = 2\)

\(x = 2\)

এখন, \(x = 2\) মানটি সমীকরণ (i)-তে বসিয়ে পাই:

\(y = 2x\)

\(y = 2 \times 2\)

\(y = 4\)

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো \(10x + y = 10(2) + 4 = 20 + 4 = 24\)।

আমরা প্রদত্ত অপশনগুলো পরীক্ষা করে সঠিক উত্তরটি বের করতে পারি:

    
• অপশন 1: 24         
  অঙ্কদ্বয়ের যোগফল = \(2 + 4 = 6\)         
  \(4 \times 6 = 24\)। (প্রথম শর্ত পূরণ করে)         
  অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটি হয় 42।         
  \(42 - 24 = 18\)। (দ্বিতীয় শর্ত পূরণ করে)         
  যেহেতু উভয় শর্ত পূরণ করে, তাই 24 ই সঠিক উত্তর।     
    
• অপশন 2: 42         
  অঙ্কদ্বয়ের যোগফল = \(4 + 2 = 6\)         
  \(4 \times 6 = 24\)। কিন্তু সংখ্যাটি 42, যা 24 এর সমান নয়। (প্রথম শর্ত পূরণ করে না)     
    
• অপশন 3: 36         
  অঙ্কদ্বয়ের যোগফল = \(3 + 6 = 9\)         
  \(4 \times 9 = 36\)। (প্রথম শর্ত পূরণ করে)         
  অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটি হয় 63।         
  \(63 - 36 = 27\)। কিন্তু শর্তানুসারে পার্থক্য 18 হওয়া উচিত। (দ্বিতীয় শর্ত পূরণ করে না)     
    
• অপশন 4: 48         
  অঙ্কদ্বয়ের যোগফল = \(4 + 8 = 12\)         
  \(4 \times 12 = 48\)। (প্রথম শর্ত পূরণ করে)         
  অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটি হয় 84।         
  \(84 - 48 = 36\)। কিন্তু শর্তানুসারে পার্থক্য 18 হওয়া উচিত। (দ্বিতীয় শর্ত পূরণ করে না)