City B is 8 miles east of City A. City C is 6 miles north of City B. City D is 16 miles east of City C and City E is 12 miles north of City D. What is the distance from City A to City E? (B শহরটি A শহর থেকে ৮ মাইল পূর্বে অবস্থিত। C শহরটি B শহর থেকে ৬ মাইল উত্তরে অবস্থিত। D শহরটি C শহর থেকে ১৬ মাইল পূর্বে এবং E শহরটি D শহর থেকে ১২ মাইল উত্তরে অবস্থিত। A শহর থেকে E শহরের দূরত্ব কত?)

বিন্দুর দূরত্ব ও ঢাল নির্ণয় (Distance and Slope of a Point)

স্থানাংক জ্যামিতিতে দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব এবং সরলরেখার ঢাল নির্ণয় একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। দুটি বিন্দুর অবস্থান জানা থাকলে সহজেই তাদের মধ্যকার দূরত্ব ও রেখার ঢাল নির্ণয় করা যায়।

বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয়

ধরা যাক, দুটি বিন্দু

$A(x_1,y_1)$

এবং

$B(x_2,y_2)$

তাহলে A ও B বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে,

$D=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

দূরত্ব সূত্রের ব্যাখ্যা

এটি মূলত পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রয়োগ। দুটি বিন্দুর অনুভূমিক পার্থক্য এবং উল্লম্ব পার্থক্য ব্যবহার করে অতিভুজের মান নির্ণয় করা হয়।

উদাহরণ

দুটি বিন্দু A(2, 3) এবং B(6, 7) হলে,

$D=\sqrt{{(6-2)}^2+{(7-3)}^2}$

অর্থাৎ,

$D=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

সরলরেখার ঢাল (Slope)

কোনো সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তার ট্যানজেন্টকে রেখার ঢাল বলা হয়।

যদি দুটি বিন্দু হয়

$(x_1,y_1)$

এবং

$(x_2,y_2)$

তাহলে রেখার ঢাল,

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

ঢালের প্রকৃতি

• m > 0 হলে রেখা ঊর্ধ্বমুখী হয়
• m < 0 হলে রেখা নিম্নমুখী হয়
• m = 0 হলে রেখা x-অক্ষের সমান্তরাল হয়
• ঢাল অসংজ্ঞায়িত হলে রেখা y-অক্ষের সমান্তরাল হয়

উদাহরণ

দুটি বিন্দু A(1, 2) এবং B(5, 10) হলে,

$m=\frac{10-2}{5-1}$

অর্থাৎ,

$m=\frac{8}{4}=2$

বিশেষ ক্ষেত্র

• যদি দুটি বিন্দুর y স্থানাংক সমান হয়, তবে রেখাটি অনুভূমিক হবে
• যদি দুটি বিন্দুর x স্থানাংক সমান হয়, তবে রেখাটি উল্লম্ব হবে
• সমান ঢালবিশিষ্ট দুইটি রেখা পরস্পর সমান্তরাল হয়
• দুইটি রেখার ঢালের গুণফল −1 হলে রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হয়

সমান্তরাল রেখার শর্ত

$m_1=m_2$

লম্ব রেখার শর্ত

$m_1{m}_2=-1$

মনে রাখার উপায়

দূরত্ব সূত্রে “বিয়োগ → বর্গ → যোগ → বর্গমূল” এবং ঢাল সূত্রে “উল্লম্ব পরিবর্তন ÷ অনুভূমিক পরিবর্তন” ব্যবহার করা হয়।