x পূর্ণসংখ্যা হলে নিচের কোনটি সব সময় একটি জোড় সংখ্যা হবে?

আমরা জানি, জোড় সংখ্যা হলো সেইসব পূর্ণসংখ্যা যাদেরকে \(2\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ \(0\) হয়। বিজোড় সংখ্যা হলো সেইসব পূর্ণসংখ্যা যাদেরকে \(2\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ \(1\) হয়।

জোড় ও বিজোড় সংখ্যার যোগ, বিয়োগ ও গুণের কিছু মৌলিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

    
• জোড় \(\pm\) জোড় = জোড়
    
• জোড় \(\pm\) বিজোড় = বিজোড়
    
• বিজোড় \(\pm\) বিজোড় = জোড়
    
• জোড় \(\times\) যেকোনো পূর্ণসংখ্যা = জোড়

এখন, আমরা প্রতিটি অপশন বিশ্লেষণ করব, যেখানে \(x\) একটি পূর্ণসংখ্যা। \(x\) জোড় অথবা বিজোড় হতে পারে।

১. \(x+2\):

    
• যদি \(x\) জোড় সংখ্যা হয় (যেমন: \(x=2\)), তাহলে \(2+2 = 4\) (জোড়)।
    
• যদি \(x\) বিজোড় সংখ্যা হয় (যেমন: \(x=3\)), তাহলে \(3+2 = 5\) (বিজোড়)।
    
• যেহেতু \(x\) বিজোড় হলে \(x+2\) বিজোড় হয়, তাই এটি সব সময় জোড় হবে না।

২. \(x+1\):

    
• যদি \(x\) জোড় সংখ্যা হয় (যেমন: \(x=2\)), তাহলে \(2+1 = 3\) (বিজোড়)।
    
• যদি \(x\) বিজোড় সংখ্যা হয় (যেমন: \(x=3\)), তাহলে \(3+1 = 4\) (জোড়)।
    
• যেহেতু \(x\) জোড় হলে \(x+1\) বিজোড় হয়, তাই এটি সব সময় জোড় হবে না।

৩. \(x-1\):

    
• যদি \(x\) জোড় সংখ্যা হয় (যেমন: \(x=2\)), তাহলে \(2-1 = 1\) (বিজোড়)।
    
• যদি \(x\) বিজোড় সংখ্যা হয় (যেমন: \(x=3\)), তাহলে \(3-1 = 2\) (জোড়)।
    
• যেহেতু \(x\) জোড় হলে \(x-1\) বিজোড় হয়, তাই এটি সব সময় জোড় হবে না।

৪. \(2x+2\):

    
• প্রথমে \(2x\) অংশটি বিবেচনা করি। যেকোনো পূর্ণসংখ্যা \(x\) কে \(2\) দ্বারা গুণ করলে ফলাফলটি সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা হবে। কারণ, \(2\) একটি জোড় সংখ্যা এবং জোড় সংখ্যাকে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল জোড় হয়।
    
• এখন, \(2x+2\) অংশটি বিবেচনা করি। \(2x\) একটি জোড় সংখ্যা এবং \(2\) নিজেও একটি জোড় সংখ্যা। আমরা জানি, দুটি জোড় সংখ্যাকে যোগ করলে যোগফল সর্বদা জোড় হয়।
    
• সুতরাং, \(2x+2\) সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা হবে, regardless of whether \(x\) is even or odd.

অতএব, \(x\) পূর্ণসংখ্যা হলে \(2x+2\) সব সময় একটি জোড় সংখ্যা হবে।