$\left[\begin{array}{ccc}{x}^2& x& 2\\ 2& 1& 1\\ 1& 0& -5\end{array}\right]$ = 0 হলে x = ?

দেওয়া আছে একটি ৩x৩ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক (determinant) এর মান 0। ম্যাট্রিক্সটি হলো:

\( \begin{vmatrix} x^2 & x & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -5 \end{vmatrix} = 0 \)

এই ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক মান বের করার জন্য আমরা প্রথম সারি বরাবর বিস্তৃত (expand) করব। নির্ণায়কের সূত্র অনুযায়ী:

\( \text{det}(A) = x^2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -5 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \)

এখন, ২x২ ম্যাট্রিক্সগুলির নির্ণায়ক মান বের করি:

    
1. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} = (1)(-5) - (1)(0) = -5 - 0 = -5\)
    
2. \(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -5 \end{vmatrix} = (2)(-5) - (1)(1) = -10 - 1 = -11\)
    
3. \(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (2)(0) - (1)(1) = 0 - 1 = -1\)

এই মানগুলো নির্ণায়কের মূল সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\( x^2(-5) - x(-11) + 2(-1) = 0 \)

\( -5x^2 + 11x - 2 = 0 \)

সমীকরণটিকে সহজ করার জন্য উভয়পক্ষকে -1 দিয়ে গুণ করি:

\( 5x^2 - 11x + 2 = 0 \)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা মধ্যপদ বিভাজন (middle term factorization) পদ্ধতির মাধ্যমে x এর মান নির্ণয় করতে পারি। আমরা এমন দুটি সংখ্যা খুঁজব যাদের গুণফল \(5 \times 2 = 10\) এবং যোগফল -11। সংখ্যা দুটি হলো -10 এবং -1।

\( 5x^2 - 10x - x + 2 = 0 \)

সাধারণ উৎপাদক (common factor) নিয়ে পাই:

\( 5x(x - 2) - 1(x - 2) = 0 \)

\( (5x - 1)(x - 2) = 0 \)

সুতরাং, x এর দুটি সম্ভাব্য মান রয়েছে:

\( 5x - 1 = 0 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5} \)

অথবা

\( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)

অতএব, x এর মানগুলো হলো \( \frac{1}{5} \) এবং \( 2 \)।