$\int \left(x\right)=x^3-3x^2+6x+2$ এর গুরুমান/লঘুমান কোনটি?

কোনো ফাংশনের গুরুমান (local maximum) বা লঘুমান (local minimum) নির্ণয়ের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করা হয়:

    
1. প্রদত্ত ফাংশনটিকে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করে প্রথম অন্তরক \( f'(x) \) নির্ণয় করতে হবে।
    
2. গুরুমান বা লঘুমানের জন্য \( f'(x) = 0 \) ধরে \( x \) এর মান(গুলি) নির্ণয় করতে হবে। এই মানগুলোকে সংকট বিন্দু (critical points) বলা হয়।
    
3. ফাংশনটিকে \( x \) এর সাপেক্ষে দ্বিতীয়বার অন্তরীকরণ করে দ্বিতীয় অন্তরক \( f''(x) \) নির্ণয় করতে হবে।
    
4. সংকট বিন্দুগুলোতে \( f''(x) \) এর মান পরীক্ষা করতে হবে:         
               
   • যদি \( f''(x) < 0 \) হয়, তবে ঐ বিন্দুতে ফাংশনের গুরুমান বিদ্যমান।
               
   • যদি \( f''(x) > 0 \) হয়, তবে ঐ বিন্দুতে ফাংশনের লঘুমান বিদ্যমান।
               
   • যদি \( f''(x) = 0 \) হয়, তবে দ্বিতীয় অন্তরক পরীক্ষা অকার্যকর এবং এক্ষেত্রে প্রথম অন্তরক পরীক্ষা (first derivative test) ব্যবহার করতে হবে।
           
       

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x + 2 \)

বিস্তারিত সমাধান:

ধাপ ১: প্রথম অন্তরক নির্ণয়।

প্রদত্ত ফাংশনটিকে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 6x + 2) \)

\( f'(x) = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} + 6 \cdot 1x^{1-1} + 0 \)

\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 6 \)

ধাপ ২: সংকট বিন্দু নির্ণয়।

গুরুমান বা লঘুমানের জন্য, \( f'(x) = 0 \) ধরতে হবে:

\( 3x^2 - 6x + 6 = 0 \)

উভয়পক্ষকে 3 দিয়ে ভাগ করে পাই:

\( x^2 - 2x + 2 = 0 \)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এই সমীকরণের মূল (roots) নির্ণয় করার জন্য আমরা দ্বিঘাত সূত্র \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) ব্যবহার করতে পারি।

এখানে, \( a=1, b=-2, c=2 \)।

নির্ণায়ক (discriminant), \( D = b^2 - 4ac \)

\( D = (-2)^2 - 4(1)(2) \)

\( D = 4 - 8 \)

\( D = -4 \)

যেহেতু নির্ণায়ক \( D < 0 \), তাই সমীকরণ \( x^2 - 2x + 2 = 0 \) এর কোনো বাস্তব মূল (real roots) নেই। এর অর্থ হলো ফাংশনটির কোনো সংকট বিন্দু নেই যেখানে \( f'(x) = 0 \) হয়।

আমরা \( f'(x) \) এর প্রকৃতি বিশ্লেষণ করতে পারি:

\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 6 \)

\( f'(x) = 3(x^2 - 2x + 2) \)

\( f'(x) = 3((x^2 - 2x + 1) + 1) \)

\( f'(x) = 3((x-1)^2 + 1) \)

যেহেতু \( (x-1)^2 \ge 0 \) যেকোনো বাস্তব \( x \) এর জন্য, তাই \( (x-1)^2 + 1 \ge 1 \)।

অতএব, \( f'(x) = 3((x-1)^2 + 1) \ge 3 \cdot 1 = 3 \)।

এর মানে হলো \( f'(x) > 0 \) সকল বাস্তব \( x \) এর জন্য। যেহেতু প্রথম অন্তরক সর্বদা ধনাত্মক, ফাংশনটি তার সমগ্র ডোমেনে একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন (strictly increasing function)।

একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশনের কোনো গুরুমান বা লঘুমান থাকে না। তাই, প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো গুরুমান বা লঘুমান নেই।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো "কোনটিই নয়"।