x>y এবং z<0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

অসমতার মৌলিক নিয়ম অনুসারে, যখন একটি অসমতার (inequality) উভয় পক্ষকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন অসমতার চিহ্ন (inequality sign) উল্টে যায়।

প্রদত্ত শর্ত:

    
• \( x > y \)
    
• \( z < 0 \) (অর্থাৎ, \( z \) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)

এখন বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

বিকল্প ১: \( xz < yz \)

যেহেতু \( x > y \) এবং \( z \) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা, উভয় পক্ষকে \( z \) দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন \( > \) থেকে \( < \) হয়ে যাবে।

\( x > y \)

উভয় পক্ষকে \( z \) দ্বারা গুণ করে:

\( x \cdot z < y \cdot z \)

অর্থাৎ, \( xz < yz \)। এটি সঠিক।

বিকল্প ২: \( xz > yz \)

এটি ভুল। কারণ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন অবশ্যই উল্টে যাবে। যদি \( z \) একটি ধনাত্মক সংখ্যা হতো, তবে এই বিকল্পটি সঠিক হতো।

বিকল্প ৩ এবং ৪: \( z/x > z/y \) এবং \( z/y > z/x \)

যেখানে চলরাশি (variables) হর (denominator) হিসেবে থাকে, সেখানে অসমতাটি \( x \) এবং \( y \)-এর মানের (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) উপর নির্ভরশীল। এই ধরনের ক্ষেত্রে অসমতা সবসময় একই নিয়ম মেনে চলে না।

যেমন, যদি \( x \) ধনাত্মক এবং \( y \) ঋণাত্মক হয় (যেমন, \( x=2, y=-1 \)) এবং \( z \) ঋণাত্মক হয় (যেমন, \( z=-1 \)):

\( z/x = -1/2 = -0.5 \)

\( z/y = -1/(-1) = 1 \)

এই ক্ষেত্রে, \( -0.5 < 1 \), অর্থাৎ \( z/x < z/y \)। সুতরাং, বিকল্প ৩ (\( z/x > z/y \)) ভুল।

যেহেতু বিকল্প ৩ এবং ৪ সকল সম্ভাব্য ক্ষেত্রে সত্য নয়, তাই এগুলো সঠিক উত্তর হতে পারে না। কেবলমাত্র বিকল্প ১, অসমতার মৌলিক নিয়ম অনুসারে, প্রদত্ত শর্তের অধীনে সর্বদা সত্য।