সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

যদি A ও B দুইটি সেট হয় তবে সেটদ্বয়ের কার্তেসীয় গুণজ  $A\times B$ সেটের অন্তর্গত ক্রমজোড়গুলোর অশূন্য উপসেট R কে A সেট হতে B সেটের একটি অন্বয় বা সম্পর্ক বলা হয়। এখানে R সেট $A\times B$ সেটের একটি উপসেট অর্থাৎ $R\subseteq A\times B$.

দেওয়া আছে, P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 6}

প্রশ্নানুসারে $R=\{(x,y):x\in P,y\in Q$ এবং $y=2x$ }

এখানে, $P\times Q = \left\{2, 3, 5\right\} x \left\{4,6\right\}$

$=\left\{ (2,4),(2,6),(3,4),(3,6),(5,4),(5,6)\right\}$

$\therefore R=\left\{\right(2,4),(3,6\left)\right\}$

নির্ণেয় অন্বয় $\left\{\right(2,4),(3,6\left)\right\}$

দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3} এবং B = {0, 2, 4}

প্রশ্নানুসারে, অন্বয়, $R=\{(x,y):x\in A, y\in B$ এবং $x=y-1$}

এখানে, $A\times B=\{1,2,3\}\times \{0,2,4\}$

                            $= (1,0),(1,2),(1,4),(2,0),(2,2),(2,4), (3,0),(3,2),(3,4)$

$\therefore$ $R=\left\{\right(1,2),(3,4\left)\right\}$ .

দেওয়া আছে, A = {3, 4} এবং B = {2, 4}

শর্তমতে, অন্বয় $R=\{(x,y):x\in A, y\in B$ এবং $x\ge y$

এখানে, $A\times B=\{3,4\}\times \{2,4\}$

                           $=\left\{\right(3,2\left)\right(3,4),(4,2),(4,4\left)\right\}$

$x\ge y$ সম্পর্কটি বিবেচনা করে অন্বয় $R=\{(3,2),(4,2)\left(,4,4\right)\}$

দেওয়া আছে, $A=\{1,2,5\}$ এবং $B=\{-1,0,1\}$

প্রশ্নানুসারে, অন্বয় $R=\{(x,y):x\in A,y\in B$ এর $x=y+1$}

$A\times B=\{1,2,5\}\times \{-1,0,1\}$

            $=\left\{\right(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),(5,-1),(5,0),(5,1\left)\right\}$

    $\therefore x = y + 1$ শর্ত বিবেচনায় অন্বয় $R=\left\{\right(1,0),(2,1\left)\right\}$

দেওয়া আছে, $R=\left\{\right(6,4a),(3b,45\left)\right\}$

$y=x^2$ সম্পর্কের জন্য $4a=6^2$

বা, $4a = 36$

$\therefore a=\frac{36}{4}=9$

এবং $45=(3b{)}^2$ বা, $9b^2=45$ বা, $b^2=\frac{45}{9}=5$

$\therefore b = \sqrt{5}$ [ধনাত্মক মান বিবেচনা করে]

নির্ণেয় মান : $a=9$ এবং $b = \sqrt{5}$

দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কিত যেন x যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটিমাত্র মান পাওয়া যায়, তবে y কে x এর ফাংশন বলা হয়। x এর ফাংশনকে সাধারণত $y, f\left(x\right), g\left(x\right),F\left(x\right)$ ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

যেমন, $y = x + 2$ এর ক্ষেত্রে

                      $x = 1$ হলে, $y = 3$

                      $x = 2$ হলে, $y= 4$

                     $x = 3$ হলে , $y = 5$

∴ x-এর একটি মানের জন্য y-এর একটিমাত্র মান পাওয়া যায়।

∴ $y = x + 2$ একটি ফাংশন।

একটি অন্বয় ফাংশন হতে হলে এর একই ডোমেন এর জন্য ভিন্ন ভিন্ন রেঞ্জ হতে পারে না। A অন্বয়টির একই ডোমেন 1 এর জন্য ভিন্ন ভিন্ন দুইটি রেঞ্জ 4 ও 5 পাওয়া যায়। তাই A অন্বয়টি ফাংশন নয়।

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=x^3-2x+3$

$\therefore F(-3)=(-3{)}^3-2(-3)+3$

                      $= - 27 + 6 + 3 = - 27 + 9 = - 18$

  নির্ণেয় $F(- 3) = - 18$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^4+5x-3$

$\therefore f\left(\frac{1}{3}\right) = {\left(\frac{1}{3}\right)}^4+5\left(\frac{1}{3}\right)-3$

$= \frac{1}{81} + \frac{5}{3 }- 3 = \frac{1 + 135 - 243}{81 }= \frac{- 107}{81}$

নির্ণেয় মান: $\frac{-107}{81}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^4-7x^3-5$

$\therefore f(-1)=(-1)-7. (-1) - 5$

$=1,-7. (- 1) - 5 = 1 + 7 - 5 = 8 = 5 = 3$

$f (- 1) = 3$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \frac{5x - 3}{3x - 1}$

$\therefore f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{5\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)-3}{3\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)-1}=\frac{-{\displaystyle \frac{5}{3}}-3}{-{\displaystyle \frac{3}{3}}-1}=\frac{{\displaystyle \frac{-5-9}{3}}}{-1-1}=\frac{{\displaystyle \frac{-14}{3}}}{-2}$

$=\frac{-14}{3}\times \frac{1}{-2}=\frac{7}{3}$

নির্ণেয় যান: $\frac{7}{3}$

দেওয়া আছে, $f\left(a\right)=\frac{2a-1}{2a+1}$

$\therefore f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)-1}{2\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)+1}=\frac{-{\displaystyle \frac{2}{3}}-1}{-{\displaystyle \frac{2}{3}}+1}=\frac{{\displaystyle \frac{-2-3}{3}}}{{\displaystyle \frac{-2+3}{3}}}$

$=\frac{- 2 - 3}{3} \times \frac{3}{- 2 + 3}= \frac{- 5}{1}= -5$

নির্ণেয় মান:-$5$

দেওয়া আছে, $g\left(t\right)=\frac{t^4+t^2+1}{t^2}$

$g\left({-3}^{-1}\right)=\frac{{-3}^{-1}{)}^4+({-3}^{-1}{)}^2+1}{({-5}^{-1}{)}^1}=\frac{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^4+{\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2+1}{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2}$

$= \frac{{\displaystyle \frac{1}{81}} + {\displaystyle \frac{1}{9}}+1}{{\displaystyle \frac{1}{9}}}= \frac{{\displaystyle \frac{1 + 9 + 81}{81}}}{{\displaystyle \frac{1}{9}}} = \frac{{\displaystyle \frac{91}{81}}}{{\displaystyle \frac{1}{9}}}=\frac{ 91}{81}\times \frac{ 9}{1}= \frac{91}{9}$

নির্ণেয় মান: $\frac{91}{9}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \frac{3}{x}+1$

$\therefore f\left(\frac{1}{x}\right)= \frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{x}}}+ 1 = 3 \times \frac{ x}{1} + 1 = 3x + 1.$

নির্ণেয় মান= $3x+1$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^4+5x^3-3$

∴ $g(-1)=(-1{)}^4+5(-1{)}^3-3$

                    $=1-5-3-7$

নির্ণেয় মান: $-7$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-7x+6$

$\therefore f\left(2\right)=2^3-7.2+6$

  $=8-146-14-14-0$

নির্ণেয় মান 0.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^4+5x+3$

  $\therefore f\left(-\frac{1}{2}\right)={ \left(-\frac{1}{2}\right)}^4+5\times \left(-\frac{1}{2}\right)+3$

                         $=\frac{ 1}{16} - \frac{5}{2}+ 3 = \frac{1 - 40 + 48}{16 }= \frac{49 - 40}{16} = \frac{9}{16}$

$f\left(- \frac{1}{2}\right) = \frac{9}{16}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-5x+2$

$\therefore f(-2)=(-2{)}^3-5(-2)+2=-8+10+2=4.$

নির্ণেয় মান: 4

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \frac{2x + 1}{2x - 1}$

বামপক্ষ= $= f\left(-\frac{1}{2}\right)= \frac{2\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+1}{2\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-1} =\frac{- 1 + 1}{- 1 - 1} = \frac{0}{- 2 }= 0 =$ডানপক্ষ

$\therefore f\left(-\frac{1}{2}\right)=0$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-6x+3$

$\therefore f(-3)=(-3{)}^3-6(-3)+3=-27+18+3=-6$

নির্ণেয় : -6

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=x^3-4x+5$

$P\left(2\right)=2^3-4.2+5=8-8+5=5$

নির্ণেয় মান 5.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-4x+3$

বামপক্ষ= $=f(-1)=(-1{)}^3-4.(-1)+3=-1+4+3=6=$ডানপক্ষ

$\therefore$$f(- 1) = 6$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^4+7x^2-5$

$\therefore f(-1)=(-1{)}^4+7*(-1{)}^2-5=(1+7-5)=3$

নির্ণেয় মান 3.

দেওয়া আছে, $f\left(y\right) = \frac{4y + 1}{4y - 1}$

বামপক্ষ$= f\left(- \frac{1}{2} \right)=\frac{ 4\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}} \right)+1}{4\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)- 1 }= \frac{- 2 + 1}{- 2 - 1}=\frac{ - 1}{- 3}= \frac{1}{3}=$ডানপক্ষ

                            ∴  $f\left(-\frac{1}{2}\right)= \frac{1}{3}$( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^4+5x+3$

∴ $f(-2)=(-2{)}^4+5(-2)+3$

$=16-10-3-19-10-9$

নির্ণেয় মান 9.

দেওয়া আছে, $f\left(y\right) = \frac{3y + 1}{y - 1 }$

$\therefore f(- 1) = \frac{3(- 1) + 1}{- 1 - 1} = \frac{- 3 + 1}{- 2} = \frac{- 2}{- 2 }=1$

নির্ণেয় মান 1 .

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-4x+4$

$\therefore f\left(2\right)=2^2-4.2+4=4-8+4=0$

নির্ণেয় মানঃ 0

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-3x+5$

বামপক্ষ= $f\left(0\right)$

              $=02-3.0+5=0-0+5=5$ = ডানপক্ষ

   $\therefore f\left(0\right) = 5$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2+2$

$\therefore$ $f(-3)=(-3{)}^2+2=11$.

নির্ণেয় মান 11

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-x^2-x-\frac{1}{8}$

বামপক্ষ= $=f\left(-\frac{1}{2}\right)={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{8}$

$= - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8}= \frac{- 1 - 2 + 4 - 1}{8}= \frac{4 - 4}{8 }= \frac{0}{8}= 0=$ডানপক্ষ

$\therefore f- \frac{1}{2}=0$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2+3x+2$

$\therefore f(-1)=(-1{)}^2+3\times (-1)+2$

$= 1-3+2=3-3=0$

নির্ণেয় যান 0.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \frac{x - 3}{x + 1}$

বামপক্ষ $= f\left(0\right) = \frac{0 - 3}{0 + 1} = \frac{- 3}{1}= - 3 =$ডানপক্ষ

$\therefore f\left(0\right) = - 3$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^4+6x-4$

$\therefore f(-2)=(-2{)}^4+6(-2)-4=16-12-4=0$

নির্ণেয় মান 0.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-2x+3$

বামপক্ষ$=f\left(\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-2\left(\frac{1}{2}\right)+3=\frac{1}{4}-1+3=\frac{1-4+12}{4}=\frac{9}{4}$= ডানপক্ষ

$\therefore f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}$(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,  $f\left(x\right)=x^5+5x-3$

$\therefore$$f\left(1\right)=1^5+5\times 1-3=1+5-3=6-3=3$

$\therefore$$f\left(1\right)$ এর মান 3.

দেওয়া আছে, $f\left(z\right)=z^4+5z^2-3$

$\therefore f(-1)=(-1{)}^4+5\times (-1{)}^2-3$

$=1+5-3=3$

নির্ণেয় মান 3.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-4x+3$

বামপক্ষ= $f\left(-\frac{1}{2}\right)={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-4.\left(-\frac{1}{2}\right)+3$

$= \frac{1}{4}+ 2 + 3 = \frac{1 + 8 + 12}{4} =\frac{ 21}{4 }=$ ডানপক্ষ

$f\left(-\frac{1}{2}\right)= \frac{21}{4}$(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে , $f\left(x\right)=\frac{1+x^2+x^3}{x^2}$

          $\therefore f(-1)=\frac{1+(-1{)}^2+(-1{)}^3}{(-1{)}^2}=\frac{1+1-1}{1}=2-1=1$

$\therefore f(-1)$ এর মান 1.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{x^2+x^3+x^4}{3x^3}$

                  $\therefore f(-1)=\frac{(-1{)}^2+(-1{)}^3+(-1{)}^4}{3\times (-1{)}^3}=\frac{1-1+1}{3(-1)}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$

$\therefore f(-1)$এর মান : $-\frac{1}{3}$

দেওয়া আছে , $f\left(y\right) = \frac{3y + 1}{y - 1}$

$\therefore f(-1)= \frac{3.(-1)+1}{- 1 - 1 } = \frac{- 3 + 1}{- 2}= \frac{- 2}{- 2}=1$

f(-1) এর মান 1.

এখানে, $f\left(x\right) = \frac{3x + 1}{3x - 1}$

$\therefore f\left(3\right) = \frac{3.3 + 1}{3.3 + 1}= \frac{10}{8} = \frac{5}{4}.$

নির্ণেয় মান: $\frac{5}{4}$

দেওয়া আছে, $f\left(a\right) = \frac{3a + 1}{3a - 1}$

                   $\therefore f\left(\frac{I}{3}\right)= \frac{3. {\displaystyle \frac{1}{ 3 }}+1}{3. {\displaystyle \frac{1}{ 3}} -1}$

                     $= \frac{1 + 1}{1 - 1}=\frac{ 2}{0 }=$ অসংজ্ঞায়িত

$f\left(\frac{1}{3}\right)$ এর মান অসংজ্ঞায়িত। (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{x + 1}{x - 1}$

  প্রদত্ত রাশি= $= f\left(x\right) + f\left(\frac{1}{x}\right)$

$= \frac{x + 1}{x - 1}+ \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}+1}{{\displaystyle \frac{1}{x}}-1}= \frac{x + 1}{x - 1}+ \frac{1 + x}{1 - x}= \frac{x + 1}{x - 1}- \frac{x + 1}{x - 1}= 0$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \frac{3x + 1}{3x - 1}$

এবার, $f\left(1\right) = \frac{3.1 + 1}{3.1 - 1} = \frac{3 + 1}{3 - 1}= \frac{4}{2}= 2$

বামপক্ষ $= \frac{f\left(1\right) + 1}{f\left(1\right) - 1}= \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1 }= 3 =$ ডানপক্ষ

∴ $\frac{f\left(1\right) + 1}{f\left(1\right) - 1}= 3$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \frac{2x + 1}{2x - 1}$

বামপক্ষ, $= \frac{f\left(x\right) + 1}{f\left(x\right) - 1}=\frac{2x + 1 + 2x - 1}{2x + 1 - 2x + 1}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

$= \frac{4x}{2}= 2x =$ ডানপক্ষ

$\frac{f\left(x\right) + 1}{f\left(x\right) - 1}= 2x.$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \frac{2 - 5x}{2 + 5x}$

$\therefore f\left(x^2\right)=\frac{2-5x^2}{2+5x^2}=\frac{2-{\displaystyle \frac{5}{x^2}}}{2+{\displaystyle \frac{5}{x^2}}}=\frac{2x^2-5}{2x^2+5}$

∴ $f(x²) \ne f\left(x^{-2}\right)$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(a\right)=a^3-4a^2+5a+2b$

$\therefore f(-1)=(-1{)}^3-4(-1{)}^2+5(-1)+2b$

$= - 1 - 4 - 5 + 2b = - 10 + 2b$

প্রশ্নমতে, $f(- 1) = 0$

বা, 10 + 2b = 0

বা, 2b = 10

বা , $b=\frac{10}{2}=5$

নির্ণেয় মান: b = 5

দেওয়া আছে, $f\left(a\right)=2a^3+k{a}^2-32$

$\therefore f\left(2\right)=2*(2{)}^3+k(2{)}^2-32=16+4k-32=4k-16$

প্রশ্নমতে , $f\left(2\right) = 0$

বা,$4k - 16 = 0$

বা, $4k = 16$

$k = \frac{16}{4 }= 4$

বা, $k = 4$

নির্ণেয় মান: k = 4

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3+2x^2-ax-1$

এখন, $f\left(2\right) = 0$

বা, $(2{)}^3+2\times (2{)}^2-a\times 2-1=0$

বা, $8 + 8 - 2a - 1 = 0$

বা, $15 - 2a = 0$

বা, $- 2a = - 15$

বা, $a= \frac{- 15}{- 2}= \frac{15}{2}$

নির্ণেয়  মানঃ $\frac{15}{2}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-5x+2k$

$\therefore f\left(2\right)=2^2-5.2+2k=4-10+2k=2k-6$

প্রশ্নমতে, $f\left(2\right) = 0$

বা, $2k - 6 = 0$

বা, $2k = 6$

বা, $k = \frac{6}{2}= 3$

নির্ণেয় মান: $k = 3$

দেওয়া আছে, $f\left(y\right) = 3ky - 6$

$\therefore f\left(I\right) = 3k. 1- 6 = 3k - 6$

প্রশ্নমতে, $f\left(1\right) = 0$

বা, $3k - 6 = 0$

বা, $3k = 6$

বা, $k= \frac{6}{3 }=2$

নির্ণেয় মান: k = 2

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3+p{x}^2-5x-7$

   $\therefore f(-1)=(-1{\left)}^{\right(}3)+p(-1{)}^2-5(-1)-7$

$= - 1 + p + 5 - 7 = P - 3$

প্রশ্নমতে, f(- 1) = 0

বা, $p - 3 = 0$

$\therefore p = 3$

নির্ণেয় মান: p = 3.

দেওয়া আছে, $f\left(y\right)=y^3+m{y}^2-3y-6$

$\therefore f(-3)=(-3{)}^3+m(-3{)}^2-3(-3)-6$

$= - 27 + 9m + 9 - 6 = 9m - 24$

প্রশ্নমতে,  $f(- 3) = 0$

বা, $9m - 24 = 0$

বা, 9m = 24

$\therefore m = \frac{24}{9}=\frac{ 8}{3}$

নির্ণেয় মান : $m =\frac{ 8}{3}$

$f\left(x\right)=x^2-5x+6$

এখন, $f\left(x\right) = 0$

$x^2-5x+6=0$

বা, $x^2-3x-2x+6=0$

বা, x(x - 3) - 2(x - 3) = 0

বা, $(x - 3)(x - 2) = 0$

হয়, $x - 3 = 0$

বা, x = 3                                                      অথবা $x - 2 = 0$  বা , $x = 2$

$\therefore x = 2 ,3$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2-6x-9$

$\therefore f(-3)=(-3{)}^3+a.(-3{)}^2-6.(-3)-9$

$= - 27 + 9a + 18 - 9 = 9a - 18$