সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয় বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকলে, স্পর্শকটিকে সরল সাধারণ স্পর্শক বলে।

চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয়ের একটি সরল সাধারণ স্পর্শক AB।

দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয় বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকলে স্পর্শকটিকে তির্যক সাধারণ স্পর্শক বলে।

চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয়ের একটি সাধারণ স্পর্শক AB.I

দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক যদি বৃত্ত দুইটিকে একই বিন্দুতে স্পর্শ করে তবে ঐ বিন্দুতে বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে বলা হয়। এরূপ ক্ষেত্রে বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয় যদি স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকে তাহলে বৃত্ত দুইটি বহিঃস্পর্শ হয়েছে বলা হয়।

চিত্রে M ও N কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় P বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।

দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক যদি বৃত্ত দুইটিকে একই বিন্দুতে স্পর্শ করে তবে ঐ বিন্দুতে বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করেছে বলা হয়। এরূপক্ষেত্রে, বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয় যদি স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে তাহলে বৃত্ত দুইটি অন্তঃস্পর্শ হয়েছে বলা হয়।

চিত্রে, MওN কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় P বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।

সমতলম্ব একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি দুইটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি ছেদক বলা হয়।

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের PQ একটি ছেদক।

সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি একটি ও কেবল একটি সাধারণ বিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির স্পর্শক বলা হয়।

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে PQ একটি স্পর্শক।

চিত্রে, Cও C' কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। বৃত্ত দুইটির সাধারণ স্পর্শক PQ ও RS যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে D, E ও F, G বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

চিত্রে O ও O' কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে না। বৃত্তদ্বয়ে AB, CD, PQ ও RS চারটি সাধারণ স্পর্শক।

চিত্রে O ও O' কেন্দ্রবিশিষ্ট  দুইটি বহি:স্পর্শকারী বৃত্তে AB, CD ও PQ তিনটি সাধারণ স্পর্শক।

এখানে, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₁ = 12 সে.মি. এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂=9 সে.মি

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্তদ্বয়ের ব্যার্ধের সমষ্টির সমান।

বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = r₁+r₂

=12+9 সে.মি =21 সে.মি.

নির্ণেয় কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 21 সে.মি.।

এখানে, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁ = 6 সে.মি.

দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি.

দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂=$\frac{4}{2}$ সে.মি

= 2 সে.মি.  

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।  

বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব=r₁+r₂ =6+2=8  

নির্ণেয় কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 8 সে.মি.।                       

এখানে, প্রথম বৃত্তের ব্যাস 16 সে.মি.

প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₁$=\frac{16}{2}$ সে.মি = ৪ সে.মি.

দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂ = 5 সে.মি.

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমস্টির সমান।

বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব =$r_1+r_2$

(8+5) সে.মি. = 13 সে.মি

নির্ণেয় কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 13 সে.মি.।

এখানে, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = a

এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।

বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = a + 6

শর্তমতে, a + b = 11

বা, a = 11 - 6

a = 5

নির্ণেয় মান a = 5 সে.মি

এখানে, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁ = 5 সে.মি. এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂ = 7 সে.মি.।

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ব্যাসার্ধন্বয়ের অন্তরফলের সমান।

$\therefore$ বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব =r₁+r₂

=(7-5) সে.মি. = 2 সে.মি

নির্ণেয় দূরত্ব 2 সে.মি.।

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে 'কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের অন্তরফলের সমান। যেহেতু  r₁ ও 4 এর বিয়োগফল 10 সেহেতু  r₁ অবশ্যই 4 হতে বড় হবে।

শর্থমতে, r₁-4 = 10

$\therefore$ r₁ = 10 + 4 = 14 সে.মি.

নির্ণেয় r₁ এর মান 14 সে.মি.।

এখানে, প্রথম বৃত্তের ব্যাস 10 সে.মি.

$\therefore$ প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ  r₁= $\frac{10}{2}$সে.মি = 5 সে.মি.

এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂ = 3 সে.মি.

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে আন্তঃস্পর্শ করলে বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে এদের ব্যাসার্ধন্বয়ের অন্তরফল।

বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = r₁-r₂=5-3=2 সে.মি.

নির্ণেয় মধ্যবর্তী দূরত্ব 2 সে.মি.।

এখানে, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_1=\frac{8}{2}$সে.মি. = 4 সে.মি.

এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_2=\frac{4}{2}$সে.মি. = 2 সে.মি.।

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব তাদের ব্যাসার্ধের অন্তরফলের সমান।

বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = $r_1- r_2$

= (4-2) সে.মি. = 2 সে.মি.

নির্ণেয় দূরত্ব 2 সে.মি.।

এখানে, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁ = 3 সে.মি., দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂ = 4 সে.মি. এবং তৃতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₃ = 5 সে.মি.। যেহেতু বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, সেহেতু কেন্দ্রত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের বাহুগুলো হবে যথাক্রমে a = r₁+ r₂ = (3 + 4) সে.মি. = 7 সে.মি., b = r₂ + r₃ = (4 + s) সে.মি. = 9 সে.মি. এবং c = (r₁ + r₃) = (3 + 5) সে.মি. = 8 সে.মি.

a, b, c বাহুদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিসীমা =a+b+c = (7 + 9 + 8) সে.মি. = 24 সে.মি.

নির্ণেয় পরিসীমা 24 সে.মি.।

মনে করি, Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₁= 5 সে.মি. এবং P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂=3 সে.মি.

বৃত্তদ্বয় পরস্পর বহিস্পর্শ করে, বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, r₁+r₂=5+3=8 সে.মি.।

এখানে, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₁ = 4 সে.মি.

এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂=$\frac{6}{2}$সে.মি. = 3 সে.মি.

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান। এখানে, বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে।

বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = r1-r2=4-3=1 সে.মি.

মনে করি, P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস = ৪ সে.মি. এবং Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস = 6 সে.মি.

$\therefore$ P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁=$\frac{8}{2}=4$

$\therefore$ Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂= $\frac{6}{2}=3$

বৃত্তদ্বয় পরস্পর বহি:স্পর্শ করলে, বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = r₁ + r₂

=4+3=7 সে.মি.।

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

মনে করি, P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₁ $=\frac{10}{2}=5$ সে.মি

এবং Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r_2=4$

বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত PQ= r₁ +r₂

=5+4=9 সে.মি

এখানে, A ও D; A ও B; B ও C এবং C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তগুলো পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করায় ABCD চতুর্ভুজের পরিসীমা= 2$\times$(A, B, C, D কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমষ্টি)

= 2(5 + 3 + 8 + 4) সেমি

= 2 $\times$20 সে.মি. = 40 সে.মি.।

A বিন্দু হতে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক AP ও AQ

শর্তমতে, AP = AQ বা, 3x + 1 = x + 11 বা, 3x - x = 11 - 1

বা; 2x = 10

$\therefore x=\frac{10}{2}=5$

আবার, B হতে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক BP ও BR

$\therefore$ BR = BP = x + 7 = 5 + 7 = 12

নির্ণেয় BR এর দৈর্ঘ্য 12 একক।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₁ =$\frac{10}{2}=5$ সে.মি

P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂ = 4 সে.মি.

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

OP=OQ-PQ

=r₁-r₂

=5-4

= 1 সে.মি.

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের দূরত্বের বিয়োগফলের সমান।

$\therefore$ তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= 5-3 = 2 সে.মি.।

ABCD বর্গে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি অন্তর্লিখিত।

$\therefore$ বৃত্তটির স্পর্শকের সংখ্যা AB, BC, CD ও AD অর্থাৎ 4টি।

$\therefore$ বর্গে অন্তর্লিখিত বৃত্তের স্পর্শকের সংখ্যা 4টি।

এখানে, AB ও AC স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ, $\angle$BAC = 60$°$

এখন, ABOC চর্তুভুজের, $\angle$BOC+ $\angle$BAC = 180$°$

বা, $\angle$BOC + 60$°$ = 180$°$

বা, $\angle$BOC = 180$°$ - 60$°$= 120$°$

$\angle$BOC = 120$°$

আমরা জানি, বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব

$\therefore$$\angle$ PBO = 90$°$

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের PA ও PB দুইটি স্পর্শক

সুতরাং,  PA = PB

বা, 2x + 3 = x + 4

বা, 2x - x = 4 - 3

$\therefore$ x = 1

$\therefore$ PA এর দৈর্ঘ্য = 2x + 3

= 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5

$\therefore$ PA এর দৈর্ঘ্য 5 একক

বৃত্তের বহিঃস্প কোনো বিন্দু হতে ঐ বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানা হলে স্পর্শক, স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।

OA$\perp$AP এবং OB $\perp$BP

$\angle$PAO = 90$°$ এবং $\angle$PBO = 90$°$

এখানে, $\angle$APB = 40$°$

OAPB চতুর্ভুজে, $\angle$AOB+ $\angle$PBO+ $\angle$APB+$\angle$PAO = 360$°$

বা, $\angle$AOB + 90$°$+ 40$°$ + 90$°$ = 360$°$

বা, $\angle$AOB + 220$°$= 360$°$

বা,$\angle$AOB = 360$°$ - 220$°$

বা, $\angle$AOB = 140$°$

প্রবৃদ্ধ $\angle$AOB = 360$°$- 140$°$ = 220$°$

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে BA স্পর্শক হলে, OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। অর্থাৎ, OA$\perp$AB

$∆$ OAB সমকোণী ত্রিভুজে, $O{B}^2+O{A}^2+ A{B}^2$

বা, $O{A}^2=O{B}^2- A{B}^2$

বা, $OA=\sqrt{O{B}^2- A{B}^2}$

$=\sqrt{{\left(12\right)}^2-{\left(10\right)}^2}$

$=\sqrt{44}$

$=2\sqrt{11}$

সুতরাং, OC = OA $=2\sqrt{11}$সে.মি. [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA এবং PB দুইটি স্পর্শক,

এবং $\angle$PAB = 60$°$

$\angle$PAO = 90$°$ [স্পর্শক স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব]

বা, $\angle$PAB+ $\angle$OAB = 90$°$

বা, 60^ + $\angle$OAB = 90$°$

$\angle$OAB = 90 deg - 60$°$ = 30$°$

$\angle$OBA = 30 deg [ OA = OB]

এখন, △ AOB এ,

$\angle$AOB+ $\angle$OAB+ $\angle$OBA = 180$°$

বা, $\angle$AOB + 30$°$+ 30$°$= 180$°$  [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]

বা, $\angle$AOB + 60$°$= 180$°$

বা, $\angle$AOB = 180$°$ - 60$°$= 120$°$

$\angle$AOB = 120$°$