(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল $13\sqrt{3}$ বর্গমিটার বেড়ে যায়।

(ii) একটি রম্বসের পরিসীমা 160 সে.মি. এবং একটি কর্ণ 4৪ সে.মি.।

মনে করি, আয়তাকার ঘরের প্রস্থ = x মি.

দৈর্ঘ্য $=\frac{3}{2} x$ মি.

ক্ষেত্রফল $=\frac{3}{2 }x\times x$ বর্গমিটার $= \frac{3}{2}{x}^2$ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,

$\frac{3}{2}{x}^2=384$

বা, $x^2=\frac{384\times 2}{3}=256$

বা, $x = \sqrt{256}= 16$

প্রস্থ = 16 মি. এবং দৈর্ঘ্য $= \frac{3}{2}\times 16$ মি. = 24 মি.

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)²

= $\sqrt{(24{)}^2+(16{)}^2}$মি.

= $\sqrt{832}$মি.

= 28.84 মিটার (প্রায়)

নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 28.84 মিটার (প্রায়)।

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

$\therefore$ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{3}{4}{a}^2$ বর্গমিটার

ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার বাড়ালে বাহুর দৈর্ঘ্য হয় (a + 3) মিটার

এক্ষেত্রে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\frac{3}{4}(a+3{)}^2$ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,

$\frac{\sqrt{3}}{4}(a+3{)}^2-\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=13\sqrt{3}$

বা, 

বা, $\frac{1}{4} (a + 3 + a)(a + 3 - a) = 13$ [উভয়পক্ষকে $\sqrt{3}$ দ্বারা ভাগ করে]

বা,  $\frac{1}{4}\times (2a + 3) \times 3 = 13$

বা, $2a + 3 = 13 \times \frac{4}{3}$ [$\frac{4}{3}$দ্বারা গুণ করে]

বা, $2a=\frac{52}{3}- 3 =\frac{52 - 9}{3}=\frac{43}{3}$

বা, $a = \frac{43}{3 \times 2}$

$a = \frac{43}{6}$

$\therefore$ অর্থাৎ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $\frac{43}{6}$ মিটার।

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $\frac{\sqrt{3}}{2} a =\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{43}{6}$ মিটার

$= \frac{43\sqrt{3}}{12}= 6.21$ মিটার (প্রায়)

নির্ণেয় সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6.21 মিটার (প্রায়)।

মনে করি, ABCD রম্বসের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

$\therefore$ রম্বসটির পরিসীমা = 4a সে. মি.

প্রশ্নমতে, 4a = 160

বা, $a = \frac{160}{4}= 40$

AB = BC = CD = AD = 40 সে.মি.

ধরি, একটি কর্ণ BD = 48 সে.মি.

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

এখানে, AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

$AO = OC - \frac{1}{2} AC$

বা, 2AO = AC

এবং $BO = DO = \frac{1}{2} BD$

বা, 2BO = BD

এখন, AOB সমকোণী ত্রিভুজ হতে,

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$A{O}^2+B{O}^2=A{B}^2$

বা, $4A{O}^2+4B{O}^2=4A{B}^2$

বা, $(2AO{)}^2+(2BO{)}^2 =4A{B}^2$

বা, $A{C}^2 + B{D}^2= 4 A{B}^2$

বা, $A{C}^2+(48{)}^2=4\times (40{)}^2$

বা, $A{C}^2 + 2304 = 6400$

বা, $A{C}^{2 }= 6400 - 2304 - 4096$

বা, $AC =\sqrt{4096}= 64$ মিটার

ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}\times AC\times BD$

$=\frac{1}{2}\times 64\times 48$  বর্গমিটার

=  1536 বর্গমিটার

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 1536 বর্গমিটার।