উত্তরঃ
০
প্রদত্ত যোগফলকে ৮ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ নির্ণয়ের জন্য, আমরা যোগফলের প্রতিটি পদকে ৮ দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগশেষগুলোর যোগফলকে ৮ দ্বারা ভাগ করে মোট ভাগশেষ নির্ণয় করতে পারি।
ধাপ ১: প্রতিটি পদের সাধারণ রূপ নির্ণয়।
প্রদত্ত ধারাটি হলো: ২ + ২২ + ৩২ + ... + ২০১৮২ + ২০১৯২।
ধারার প্রতিটি পদ ২ দ্বারা শেষ হয়। যেকোনো সংখ্যা যা ২ দ্বারা শেষ হয়, তাকে \(10k+2\) আকারে লেখা যায়, যেখানে \(k\) হলো প্রথম ডিজিট বা ডিজিটগুলো।
যেমন:
- ২ = \(10 \times 0 + 2 \Rightarrow k=0\)
- ২২ = \(10 \times 2 + 2 \Rightarrow k=2\)
- ৩২ = \(10 \times 3 + 2 \Rightarrow k=3\)
- ...
- ২০১৮২ = \(10 \times 2018 + 2 \Rightarrow k=2018\)
- ২০১৯২ = \(10 \times 2019 + 2 \Rightarrow k=2019\)
সুতরাং, \(k\)-এর মানগুলো হলো \(0, 2, 3, 4, \ldots, 2019\)।
ধাপ ২: প্রতিটি পদকে ৮ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ নির্ণয়।
আমরা প্রতিটি পদ \(10k+2\)-কে ৮ দ্বারা ভাগ করে ভাগশেষ নির্ণয় করব।
\((10k+2) \text{ mod } 8 = (8k + 2k + 2) \text{ mod } 8 = (2k+2) \text{ mod } 8\)।
এটি \((2(k+1)) \text{ mod } 8\) এর সমান। আমরা \((k+1)\)-এর মানের উপর ভিত্তি করে ভাগশেষ নির্ণয় করতে পারি:
- যদি \((k+1) \text{ mod } 4 = 1\) হয়, তবে \(k+1 = 4m+1\)। সুতরাং, \(2(k+1) = 8m+2\)। ভাগশেষ হবে \(2\)।
- যদি \((k+1) \text{ mod } 4 = 2\) হয়, তবে \(k+1 = 4m+2\)। সুতরাং, \(2(k+1) = 8m+4\)। ভাগশেষ হবে \(4\)।
- যদি \((k+1) \text{ mod } 4 = 3\) হয়, তবে \(k+1 = 4m+3\)। সুতরাং, \(2(k+1) = 8m+6\)। ভাগশেষ হবে \(6\)।
- যদি \((k+1) \text{ mod } 4 = 0\) হয়, তবে \(k+1 = 4m\)। সুতরাং, \(2(k+1) = 8m\)। ভাগশেষ হবে \(0\)।
ধাপ ৩: প্রতিটি পদের ভাগশেষের যোগফল নির্ণয়।
মোট পদের সংখ্যা: \(1 \text{ (for } k=0) + (2019-2+1) \text{ (for } k=2 \text{ to } 2019) = 1 + 2018 = 2019\)টি।
- প্রথম পদ (যখন \(k=0\)):
\(k+1 = 0+1 = 1\)।
\(1 \text{ mod } 4 = 1\)।
সুতরাং, ভাগশেষ = \(2\)।
- বাকি পদগুলো (যখন \(k=2\) থেকে \(k=2019\)):
এই অংশে মোট পদসংখ্যা \(2019 - 2 + 1 = 2018\)টি।
\(k+1\)-এর মানগুলো হবে \(3, 4, 5, \ldots, 2020\)।
\((k+1) \text{ mod } 4\) এর ক্রম এবং সংশ্লিষ্ট ভাগশেষগুলো নিম্নরূপ:
- \(k=2 \Rightarrow k+1=3 \Rightarrow 3 \text{ mod } 4 = 3 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(6\)
- \(k=3 \Rightarrow k+1=4 \Rightarrow 4 \text{ mod } 4 = 0 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(0\)
- \(k=4 \Rightarrow k+1=5 \Rightarrow 5 \text{ mod } 4 = 1 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(2\)
- \(k=5 \Rightarrow k+1=6 \Rightarrow 6 \text{ mod } 4 = 2 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(4\)
এই \((6, 0, 2, 4)\) ক্রমটি পুনরাবৃত্তি হয়, যার যোগফল \(6+0+2+4 = 12\)।
মোট \(2018\)টি পদ রয়েছে।
\(2018 \div 4 = 504\)টি পূর্ণ চক্র।
পূর্ণ চক্রগুলোর ভাগশেষের যোগফল = \(504 \times 12 = 6048\)।
বাকি আছে \(2018 \text{ mod } 4 = 2\)টি পদ। এই দুটি পদ হলো পরের চক্রের প্রথম দুটি পদ: \(6\) এবং \(0\)।
এই বাকি দুটি পদের জন্য \(k=2018\) এবং \(k=2019\):
- \(k=2018 \Rightarrow k+1=2019 \Rightarrow 2019 \text{ mod } 4 = 3 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(6\)।
- \(k=2019 \Rightarrow k+1=2020 \Rightarrow 2020 \text{ mod } 4 = 0 \Rightarrow\) ভাগশেষ \(0\)।
সুতরাং, \(k=2\) থেকে \(k=2019\) পর্যন্ত পদগুলোর ভাগশেষের যোগফল = \(6048 + 6 + 0 = 6054\)।
ধাপ ৪: মোট ভাগশেষ নির্ণয়।
সমস্ত পদের ভাগশেষের মোট যোগফল = (প্রথম পদের ভাগশেষ) + (বাকি পদগুলোর ভাগশেষের যোগফল)
মোট যোগফল = \(2 + 6054 = 6056\)।
সবশেষে, এই মোট যোগফলকে ৮ দ্বারা ভাগ করে ভাগশেষ নির্ণয় করতে হবে:
\(6056 \text{ mod } 8\)
যেহেতু \(6056 = 8 \times 757\), তাই ভাগশেষ \(0\)।
