Write only the answer of the following question :

Given, a + b + c = 9 and ab + bc + ac = 31

a²+ b²+ c² = (a + b + c)²- 2ab - 2bc - 2ca

= (a + b + c)²- 2(ab + bc + ca)

= (9)² - 2(31)

= 81 - 62

= 19

২০০ এর ০.৫% = ০১

অতএব, 

০১+৯৯=১০০

=> ১০০-৫০= ৫০ (উত্তর) 

ধরা যাক, সংখ্যাটি x, যা -৫/৪ এর সাথে যোগ করতে হবে।

সমীকরণটি হবে: -৫/৪ + x = -১

x = -১ + ৫/৪

x = (-৪ + ৫)/৪

x = ১/৪

অতএব, -৫/৪ এর সাথে ১/৪ যোগ করলে -১ পাওয়া যাবে।

ধরি, পরপর তিনটি সংখ্যা হলো \(x-1\), \(x\) এবং \(x+1\)।

প্রশ্নানুসারে, সংখ্যা তিনটির গুণফল \(120\)।

অর্থাৎ, \((x-1) \times x \times (x+1) = 120\)

এখন, আমরা \((x-1) \times x \times (x+1)\) এর মান পরীক্ষা করে দেখব কোন তিনটি পরপর সংখ্যার গুণফল \(120\) হয়।

যদি \(x = 3\) হয়, তবে \((3-1) \times 3 \times (3+1) = 2 \times 3 \times 4 = 24\) (যা \(120\) নয়)

যদি \(x = 4\) হয়, তবে \((4-1) \times 4 \times (4+1) = 3 \times 4 \times 5 = 60\) (যা \(120\) নয়)

যদি \(x = 5\) হয়, তবে \((5-1) \times 5 \times (5+1) = 4 \times 5 \times 6 = 120\) (যা \(120\) এর সমান)

অতএব, সংখ্যা তিনটি হলো \(4, 5\) এবং \(6\)।

তাদের যোগফল হবে:

\(4 + 5 + 6 = 15\)

ধরি, ৩ বছর আগে শিক্ষক ও ছাত্রের বয়স ছিল যথাক্রমে \(4x\) বছর ও \(x\) বছর।

প্রশ্নমতে,

\(4x \times x = 196\)

\(4x^2 = 196\)

\(x^2 = \frac{196}{4}\)

\(x^2 = 49\)

\(x = \sqrt{49}\)

\(x = 7\)

অতএব, ৩ বছর আগে

শিক্ষকের বয়স ছিল \(4 \times 7 = 28\) বছর

ছাত্রের বয়স ছিল \(7\) বছর

তাদের বর্তমান বয়স হবে:

শিক্ষকের বর্তমান বয়স = \(28 + 3 = 31\) বছর

ছাত্রের বর্তমান বয়স = \(7 + 3 = 10\) বছর

৮ বছর পর তাদের বয়স হবে:

শিক্ষকের বয়স = \(31 + 8 = 39\) বছর

ছাত্রের বয়স = \(10 + 8 = 18\) বছর

৮ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে:

\(39 : 18\)

উভয়কে ৩ দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(13 : 6\)

দেওয়া আছে,

১টি টেলিভিশনের দাম = ১৯,৫০০ টাকা

সুতরাং, ৪টি টেলিভিশনের দাম = \(৪ \times ১৯,৫০০\) টাকা

= ৭৮,০০০ টাকা

আবার, ৫টি রেডিও এবং ৪টি টেলিভিশনের দাম একত্রে = ৮৯,৫০০ টাকা

সুতরাং, ৫টি রেডিও এর দাম = (৫টি রেডিও এবং ৪টি টেলিভিশনের দাম একত্রে) - (৪টি টেলিভিশনের দাম)

= (৮৯,৫০০ - ৭৮,০০০) টাকা

= ১১,৫০০ টাকা

এখন, ১টি রেডিও এর দাম = (৫টি রেডিও এর দাম) \(\div\) ৫

= \(১১,৫০০ \div ৫\) টাকা

= ২,৩০০ টাকা

অতএব, ১৫টি রেডিও এর দাম = (১টি রেডিও এর দাম) \(\times\) ১৫

= \(২,৩০০ \times ১৫\) টাকা

= ৩৪,৫০০ টাকা

দেওয়া আছে,

\(y = 5^x\)

আমরা জানি, \(\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a\)

সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5^x) \)

\( = 5^x \ln 5 \)

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(\left(25\right)^{7.5} \times \left(5\right)^{2.5} \div \left(125\right)^{1.5} = 5^x\)

প্রথমে, সমীকরণের সকল ভিত্তি (base) কে 5 এর ঘাতে (power) প্রকাশ করি।

\(25 = 5^2\)

\(125 = 5^3\)

এবার এই মানগুলো মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

\(\left(5^2\right)^{7.5} \times 5^{2.5} \div \left(5^3\right)^{1.5} = 5^x\)

ঘাতের উপর ঘাত থাকলে, ঘাতগুলো গুণ হয় (\((a^m)^n = a^{mn}\) সূত্রানুসারে):

\(5^{2 \times 7.5} \times 5^{2.5} \div 5^{3 \times 1.5} = 5^x\)

\(5^{15} \times 5^{2.5} \div 5^{4.5} = 5^x\)

এবার একই ভিত্তির গুণ ও ভাগের ঘাত নিয়ম প্রয়োগ করি (\(a^m \times a^n = a^{m+n}\) এবং \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) সূত্রানুসারে):

\(5^{15 + 2.5 - 4.5} = 5^x\)

\(5^{17.5 - 4.5} = 5^x\)

\(5^{13} = 5^x\)

উভয় পাশের ভিত্তি একই (5) হওয়ায়, ঘাতগুলিও সমান হবে:

\(x = 13\)

আমরা প্রদত্ত রাশিটি সরল করব:

প্রদত্ত রাশি = ${\left(0.04\right)}^{-1.5}$

প্রথমে, দশমিক সংখ্যাকে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

\(0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}\)

এবং ঘাতকে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

\(-1.5 = -\frac{3}{2}\)

এবার রাশিতে মানগুলো বসিয়ে পাই:

\( \left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{3}{2}} \)

ঋণাত্মক ঘাতকে ধনাত্মক করার জন্য ভগ্নাংশটি উল্টে দিতে পারি:

\( = \left(25\right)^{\frac{3}{2}} \)

এখন, ঘাতকে ভাগ করে লিখি:

\( = \left(25^{\frac{1}{2}}\right)^3 \)

অথবা, বর্গমূল হিসেবে লিখি:

\( = (\sqrt{25})^3 \)

২৫ এর বর্গমূল হলো ৫:

\( = (5)^3 \)

৫ এর কিউব (ঘন) হলো:

\( = 5 \times 5 \times 5 \)

\( = 25 \times 5 \)

\( = 125 \)

প্রদত্ত রাশি,

\[ 16x^2-56xy+49y^2 \]

আমরা জানি, \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

প্রদত্ত রাশিটিকে উক্ত সূত্রের সাথে তুলনা করে সাজিয়ে পাই:

\[ (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot (7y) + (7y)^2 \]

এটি \( (a-b)^2 \) এর সূত্রের অনুরূপ, যেখানে \(a=4x\) এবং \(b=7y\)।

সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটি হবে:

\[ (4x-7y)^2 \]

এখন, \(x=5\) এবং \(y=2\) এর মান বসিয়ে পাই,

\[ (4 \times 5 - 7 \times 2)^2 \]

\[ (20 - 14)^2 \]

\[ (6)^2 \]

\[ 36 \]

দেওয়া আছে,

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, \(a = 27\)

গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ, \(ar = 9\)

সাধারণ অনুপাত, \(r = \frac{\text{দ্বিতীয় পদ}}{\text{প্রথম পদ}} = \frac{ar}{a}\)

\(r = \frac{9}{27}\)

\(r = \frac{1}{3}\)

গুণোত্তর ধারার \(n\) তম পদের সূত্র হলো, \(T_n = ar^{n-1}\)

এখানে, \(n = 5\)

সুতরাং, পঞ্চম পদ \(T_5 = ar^{5-1}\)

\(T_5 = ar^4\)

\(T_5 = 27 \times \left(\frac{1}{3}\right)^4\)

\(T_5 = 27 \times \frac{1^4}{3^4}\)

\(T_5 = 27 \times \frac{1}{81}\)

\(T_5 = \frac{27}{81}\)

\(T_5 = \frac{1}{3}\)

সুতরাং, ধারাটির পঞ্চম পদ হলো \(\frac{1}{3}\)।