How many positive integers less than ten thousand are multiples of both eight and eighteen? (দশ হাজারের কম কতটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ৮ এবং ১৮ উভয়েরই গুণিতক?)

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (Least Common Multiple)

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট গুণিতককে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু বলা হয়।

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতককে তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বলা হয়। লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতককে সংক্ষেপে ল.সা.গু. (L.C.M.) লেখা হয়।

সংক্ষিপ্ত রূপ

ল.সা.গু = L.C.M (Least Common Multiple)

২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি-

প্রথম পদ্ধতি: সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণিতক বের করি।

২৪ এর গুণিতক: ২৪, ৪৮, ৭২, ৯৬, ১২০, ১৪৪, ১৬৮, ১৯২, ২১৬, ২৪০, ………

৩৬ এর গুণিতক: ৩৬, ৭২, ১০৮, ১৪৪, ১৮০, ২১৬, ২৫২, ২৮৮, ………

সংখ্যা দুটির সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ৭২ সবচেয়ে ছোট বা লঘিষ্ঠ

সুতরাং ২৪, ৩৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু. হলো ৭২।

দ্বিতীয় পদ্ধতি: সংখ্যাগুলোর মৌলিক গুণনীয়ক বের করি।

২৪ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক: ২$\times$২$\times$২$\times$৩

৩৬ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক: ২ $\times$ ২ $\times$ ৩$\times$৩

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদকে ২ আছে সর্বাধিক তিনবার, ৩ দুইবার। কাজেই ২ তিনবার, ৩ দুইবার নিয়ে ধারাবাহিক গুণফল বের করলে ল.সা.গু. পাওয়া যায়।

∴ ২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. ২$\times$২$\times$২$\times$৩$\times$৩ = ৭২।

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি:

২ \২৪, ৩৬

২\১২, ১৮

৩\৬, ৯,

২, ৩

∴ ২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. = ২$\times$২$\times$৩$\times$২$\times$৩=৭২।

একইভাবে তিন বা ততোধিক সংখ্যার ল.সা.গু. বের করা যায়।

জ্ঞাতব্য

• একাধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোটটি তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক।
• সংখ্যাগুলোর কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক না থাকলে তাদের ল.সা.গু. হবে সংখ্যাগুলোর গুণফল।
• কোনো একটি সংখ্যার গুণিতক অনির্দিষ্ট।

উদাহরণ

6 এর গুণিতক: 6, 12, 18, 24, 30...

8 এর গুণিতক: 8, 16, 24, 32...

এখানে 6 ও 8 এর সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম হলো 24।

অতএব, 6 ও 8 এর ল.সা.গু = 24

ল.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি

• গুণিতক লেখার পদ্ধতি
• মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
• ভাগ পদ্ধতি

মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতির উদাহরণ

12 = 2 × 2 × 3

18 = 2 × 3 × 3

এখানে সকল মৌলিক গুণনীয়কের সর্বোচ্চ ঘাত নিয়ে পাই:

ল.সা.গু = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

বৈশিষ্ট্য

• ল.সা.গু সবসময় প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সমান বা বড় হয়।
• ল.সা.গু একটি সাধারণ গুণিতক।
• দুটি সহমৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল।
• ল.সা.গু দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন গণনায় ব্যবহৃত হয়।

মনে রাখার উপায়

সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাই লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু)।